Rango de un producto de matrices y cálculo de una inversa con parámetro

**a) (1.25 puntos) Estudiar para qué valores del parámetro real $a$ la matriz $AB$ tiene rango 3.** Como $AB$ es una matriz $3\times 3$, se cumple: $$\operatorname{rg}(AB)=3 \iff \det(AB)\ne 0.$$ 💡 **Tip:** Para productos, es muy útil la propiedad: $$\det(AB)=\det(A)\,\det(B).$$ Así que basta con calcular $\det(A)$ y $\det(B)$ y ver cuándo ninguno de los dos es $0$.

La matriz $$A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2\\ 1 & 3 & a\\ a & 0 & 0\end{pmatrix}$$ tiene dos ceros en la tercera fila, así que desarrollamos por esa fila. Recordamos: al desarrollar por la fila 3, $$\det(A)=a\,C_{31}+0\,C_{32}+0\,C_{33}=a\,C_{31},$$ donde $C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+M_{31}$. El menor $M_{31}$ es el determinante que queda al eliminar fila 3 y columna 1: $$M_{31}=\begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & a\end{vmatrix}=1\cdot a-2\cdot 3=a-6.$$ Por tanto: $$\det(A)=a(a-6).$$ ✅ $$\boxed{\det(A)=a(a-6)}$$

La matriz $$B=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\ a & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ tiene dos ceros en la tercera columna, así que desarrollamos por esa columna. Solo contribuye el elemento $b_{33}=1$: $$\det(B)=1\cdot C_{33},$$ y $C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=M_{33}$. El menor $M_{33}$ es: $$M_{33}=\begin{vmatrix}1 & 3\\ a & 1\end{vmatrix}=1\cdot 1-3a=1-3a.$$ Por tanto: $$\det(B)=1-3a.$$ ✅ $$\boxed{\det(B)=1-3a}$$

Usamos la propiedad del determinante del producto: $$\det(AB)=\det(A)\det(B)=a(a-6)(1-3a).$$ Por tanto: $$\operatorname{rg}(AB)=3 \iff a(a-6)(1-3a)\ne 0.$$ Es decir: $$a\ne 0,\quad a\ne 6,\quad a\ne \frac{1}{3}.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\operatorname{rg}(AB)=3\ \iff\ a\in\mathbb{R}\setminus\left\{0,6,\frac{1}{3}\right\}}$$

**b) (1.25 puntos) Calcular la inversa de $B$ para los valores de $a$ en los que sea posible.** Una matriz es invertible si y solo si su determinante es no nulo: $$B\text{ invertible }\iff \det(B)\ne 0.$$ Como: $$\det(B)=1-3a,$$ se tiene: $$B\text{ es invertible }\iff a\ne \frac{1}{3}.$$ Ahora calculamos la inversa. Observa que $B$ tiene la forma por bloques: $$B=\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad M=\begin{pmatrix}1 & 3\\ a & 1\end{pmatrix}.$$ Entonces: $$B^{-1}=\begin{pmatrix} M^{-1} & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$ Calculamos $M^{-1}$ (matriz $2\times 2$): $$\det(M)=1-3a.$$ $$M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}1 & -3\\ -a & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{1-3a}\begin{pmatrix}1 & -3\\ -a & 1\end{pmatrix}.$$ Por tanto: $$B^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{1-3a} & \dfrac{-3}{1-3a} & 0\\[4pt] \dfrac{-a}{1-3a} & \dfrac{1}{1-3a} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad a\ne \frac{1}{3}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{B^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{1-3a} & \dfrac{-3}{1-3a} & 0\\[4pt] \dfrac{-a}{1-3a} & \dfrac{1}{1-3a} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ \text{para } a\ne \frac{1}{3}}$$