Conteo de animales a partir de costes y relaciones

**Pregunta 1.1. (2.5 puntos) En una granja se crían conejos, gallinas y pavos. El coste diario de la comida por animal es de 1.50 euros si es conejo, de 4 céntimos de euro si es gallina, y de 30 céntimos de euro si se trata de un pavo. El coste diario en comida para estos animales en la granja asciende a 44 euros. Se sabe que hay tantas gallinas como cuatro veces el número de pavos más la cuarta parte de los conejos. Además el doble del número de gallinas es igual a la suma de conejos y pavos más diez veces el número de conejos. Se pide averiguar el número de animales de cada tipo en la granja.** Llamamos: - $x$ = número de **conejos** - $y$ = número de **gallinas** - $z$ = número de **pavos** **1) Ecuación del coste diario** El coste total es $44$ euros y: - cada conejo cuesta $1{,}50$ €, - cada gallina cuesta $0{,}04$ €, - cada pavo cuesta $0{,}30$ €. Por tanto: $$1{,}50x+0{,}04y+0{,}30z=44.$$ 💡 **Tip:** Para evitar decimales, multiplica por $100$ (trabajas en céntimos). Multiplicando por $100$: $$150x+4y+30z=4400. \qquad (1)$$ **2) Relación entre gallinas, pavos y conejos** “Tantas gallinas como cuatro veces el número de pavos más la cuarta parte de los conejos”: $$y=4z+\frac{x}{4}. \qquad (2)$$ **3) Segunda relación** “El doble del número de gallinas es igual a la suma de conejos y pavos más diez veces el número de conejos”: $$2y=(x+z)+10x=11x+z. \qquad (3)$$

Partimos de: $$y=4z+\frac{x}{4}. \quad (2)$$ Multiplicamos por $4$: $$4y=16z+x. \qquad (2')$$ Ahora usamos la ecuación (3): $$2y=11x+z. \qquad (3)$$ Sustituimos $y$ de (2) en (3) (primero expresamos $2y$): $$y=4z+\frac{x}{4}\ \Rightarrow\ 2y=8z+\frac{x}{2}.$$ Igualamos con (3): $$8z+\frac{x}{2}=11x+z.$$ Pasamos términos: $$8z-z=11x-\frac{x}{2}.$$ $$7z=\frac{22x-x}{2}=\frac{21x}{2}.$$ Despejamos $z$: $$z=\frac{21x}{14}=\frac{3x}{2}. \qquad (4)$$ 💡 **Tip:** Como $z$ es un número de animales, $z$ debe ser entero. De $z=\dfrac{3x}{2}$ se deduce que $x$ tiene que ser **par**.

De (4) tenemos: $$z=\frac{3x}{2}.$$ Además, de (2) se ve que aparece $\dfrac{x}{4}$, así que para que $y$ sea entero conviene que $x$ sea múltiplo de $4$. Tomamos: $$x=4k\quad (k\in\mathbb{N}).$$ Entonces: $$z=\frac{3(4k)}{2}=6k.$$ Y con (2): $$y=4z+\frac{x}{4}=4(6k)+\frac{4k}{4}=24k+k=25k.$$ Ahora sustituimos en la ecuación de coste en céntimos (1): $$150x+4y+30z=4400.$$ Sustituyendo $x=4k$, $y=25k$, $z=6k$: $$150(4k)+4(25k)+30(6k)=4400.$$ $$600k+100k+180k=4400.$$ $$880k=4400.$$ Dividimos: $$k=5.$$

Con $k=5$: $$x=4k=20,\qquad z=6k=30,\qquad y=25k=125.$$ **Comprobación rápida:** - Coste: $$1{,}50\cdot 20+0{,}04\cdot 125+0{,}30\cdot 30=30+5+9=44\ \text{€}.$$ - Relación (2): $$4z+\frac{x}{4}=4\cdot 30+\frac{20}{4}=120+5=125=y.$$ - Relación (3): $$2y=250\quad\text{y}\quad 11x+z=11\cdot 20+30=220+30=250.$$ ✅ **Solución final:** $$\boxed{\text{Conejos }=20,\ \text{Gallinas }=125,\ \text{Pavos }=30}$$