Probabilidad y Estadística 2025 Madrid
Probabilidad total y Bayes con lluvia y caídas
Pregunta 4.2. La probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de 0.08 y en un día
seco es de 0.004. La probabilidad de que llueva y se caiga es de 0.032. Hoy un corredor ha salido. Se pide:
a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que vuelva a casa sin haberse caído.
b) (1.25 puntos) Hallar la probabilidad de que, sabiendo que se ha caído, no esté lloviendo.
Paso 1
Definir sucesos y extraer $P(L)$ del dato conjunto
Definimos los sucesos:
- $L$: “llueve”.
- $C$: “se cae”.
Nos dan:
$$P(C\mid L)=0.08,\qquad P(C\mid \overline L)=0.004,\qquad P(L\cap C)=0.032.$$
Pero
$$P(L\cap C)=P(C\mid L)\,P(L),$$
así que:
$$P(L)=\frac{P(L\cap C)}{P(C\mid L)}=\frac{0.032}{0.08}=0.4.$$
Luego:
$$P(\overline L)=1-P(L)=1-0.4=0.6.$$
💡 **Tip:** Si te dan $P(L\cap C)$ y $P(C\mid L)$, casi siempre es para despejar $P(L)$ usando $P(L\cap C)=P(C\mid L)P(L)$.
Paso 2
Calcular $P(C)$ con probabilidad total
Aplicamos la fórmula de probabilidad total sobre el suceso $C$:
$$P(C)=P(C\mid L)P(L)+P(C\mid \overline L)P(\overline L).$$
Sustituyendo:
$$P(C)=0.08\cdot 0.4+0.004\cdot 0.6=0.032+0.0024=0.0344.$$
💡 **Tip:** Un árbol ayuda a no confundirse: primero $L/\overline L$, y desde cada rama $C/\overline C$. La probabilidad de cada camino es el **producto** de sus ramas.
Paso 3
Apartado a) Probabilidad de volver sin caerse
“Volver sin haberse caído” es el complementario de $C$:
$$P(\overline C)=1-P(C)=1-0.0344=0.9656.$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\overline C)=0.9656}.$$
💡 **Tip:** Si te piden “que NO ocurra” un suceso, prueba primero con el complementario: $P(\overline C)=1-P(C)$.
Paso 4
Apartado b) $P(\overline L\mid C)$ con Bayes
Queremos:
$$P(\overline L\mid C).$$
Por el Teorema de Bayes:
$$P(\overline L\mid C)=\frac{P(C\mid \overline L)P(\overline L)}{P(C)}.$$
Sustituimos $P(C)=0.0344$ y $P(\overline L)=0.6$:
$$P(\overline L\mid C)=\frac{0.004\cdot 0.6}{0.0344}=\frac{0.0024}{0.0344}\approx 0.06977.$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\overline L\mid C)\approx 0.0698}.$$
💡 **Tip:** Comprobación de sentido: como $P(C\mid L)$ es mucho mayor que $P(C\mid \overline L)$, saber que ocurrió $C$ hace más probable que hubiera lluvia, así que $P(\overline L\mid C)$ debe salir pequeño.