Probabilidad y Estadística 2025 Madrid
Distribución normal: intervalos, cola superior y binomial a partir de un umbral
Pregunta 4.1. En base a un estudio de los datos antropométricos de la población laboral española en hombres
se considera que la masa, en kilogramos, de un individuo de esta población es una variable normal de media
75.67 y desviación típica 11.05. Se pide:
a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa entre
60 y 80 kilogramos.
b) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa
superior a 100 kilogramos.
c) (1 punto) Elegidos diez hombres distintos al azar en esta población calcular la probabilidad de que no más
de uno supere los 100 kilogramos.
Paso 1
Modelo y tipificación
Sea $X$ la masa (kg) de un hombre elegido al azar.
Según el enunciado:
$$X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2),\qquad \mu=75.67,\ \sigma=11.05.$$
Para usar tablas/calculadora de la normal estándar, tipificamos:
$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal N(0,1),\qquad X=\mu+\sigma Z.$$
Paso 2
Apartado a) Probabilidad entre 60 y 80 kg
Queremos $P(60\le X\le 80)$.
Calculamos los valores tipificados:
$$z_1=\frac{60-75.67}{11.05}\approx -1.418,\qquad z_2=\frac{80-75.67}{11.05}\approx 0.392.$$
Entonces:
$$P(60\le X\le 80)=P(z_1\le Z\le z_2)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1).$$
Con tabla/calculadora:
$$\Phi(0.392)\approx 0.6524,\qquad \Phi(-1.418)\approx 0.0781.$$
Por tanto:
$$P(60\le X\le 80)\approx 0.6524-0.0781=0.5743.$$
**Resultado:** $\boxed{P(60\le X\le 80)\approx 0.5743}$.
Paso 3
Apartado b) Probabilidad de superar 100 kg
Queremos $P(X>100)$.
Tipificamos 100:
$$z=\frac{100-75.67}{11.05}\approx 2.202.$$
Entonces:
$$P(X>100)=P(Z>z)=1-\Phi(z).$$
Con tabla/calculadora:
$$\Phi(2.202)\approx 0.98616.$$
Por tanto:
$$P(X>100)\approx 1-0.98616=0.01384.$$
**Resultado:** $\boxed{P(X>100)\approx 0.0138}$.
Paso 4
Apartado c) Diez hombres: “no más de uno” supera 100 kg
Definimos el “éxito” como: **superar 100 kg**.
De (b), la probabilidad de éxito es
$$p=P(X>100)\approx 0.01384.$$
Al elegir 10 hombres (modelando independencia), el número de hombres que superan 100 kg se puede modelar como
$$Y\sim\text{Bin}(n=10,p).$$
“No más de uno” significa $Y\le 1$:
$$P(Y\le 1)=P(Y=0)+P(Y=1)=(1-p)^{10}+\binom{10}{1}p(1-p)^9.$$
Sustituyendo $p\approx 0.01384$:
$$P(Y\le 1)\approx (0.98616)^{10}+10(0.01384)(0.98616)^9\approx 0.9920.$$
**Resultado:** $\boxed{P(\text{a lo sumo 1 supera 100})\approx 0.9920}$.