Geometría 3D: plano paralelo a un eje y recta equidistante de dos puntos

**a) [1 punto]** Si el plano es **paralelo al eje $OZ$**, entonces contiene un vector director paralelo a $\vec k=(0,0,1)$. Como además pasa por $A$ y $B$, contiene el vector $$\overrightarrow{AB}=B-A=(1,0,0).$$ Así, el plano queda generado por $\overrightarrow{AB}$ y $\vec k$ y pasa por $A$. Un vector normal es: $$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\vec k=(1,0,0)\times(0,0,1)=(0,-1,0).$$ Ecuación del plano (forma punto–normal), con $A(0,0,1)$: $$\vec n\cdot\big((x,y,z)-(0,0,1)\big)=0$$ $$(0,-1,0)\cdot(x,\,y,\,z-1)= -y=0.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\pi:\ y=0}$$ 💡 **Tip:** “Paralelo a $OZ$” significa que el plano contiene direcciones verticales (vector $(0,0,1)$).

**b) [1,5 puntos]** El plano $z=1$ tiene vector normal $\vec n=(0,0,1)$. Una recta **perpendicular** a ese plano debe llevar dirección paralela a $\vec n$: $$\vec v=(0,0,1).$$ Por tanto, cualquier recta perpendicular a $z=1$ es **vertical** y tiene la forma: $$\ell:\ \begin{cases}x=x_0\\ y=y_0\\ z=t\end{cases}$$ La distancia desde un punto $(x_p,y_p,z_p)$ a una recta vertical $x=x_0,\ y=y_0$ es la distancia en el plano $xy$: $$d\big((x_p,y_p,z_p),\ell\big)=\sqrt{(x_p-x_0)^2+(y_p-y_0)^2}.$$ Pedimos que diste 1 de $A(0,0,1)$ y de $B(1,0,1)$: $$\sqrt{(0-x_0)^2+(0-y_0)^2}=1 \ \Rightarrow\ x_0^2+y_0^2=1,$$ $$\sqrt{(1-x_0)^2+(0-y_0)^2}=1 \ \Rightarrow\ (1-x_0)^2+y_0^2=1.$$ Restando la primera ecuación a la segunda: $$(1-x_0)^2 - x_0^2 = 0\ \Rightarrow\ 1-2x_0=0\ \Rightarrow\ x_0=\frac{1}{2}.$$ Sustituyendo en $x_0^2+y_0^2=1$: $$\left(\frac{1}{2}\right)^2+y_0^2=1\ \Rightarrow\ y_0^2=\frac{3}{4}\ \Rightarrow\ y_0=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Por tanto hay **dos** rectas solución (simétricas respecto del eje $x$): $$\ell_1:\ \begin{cases}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ z=t\end{cases}\qquad \ell_2:\ \begin{cases}x=\frac{1}{2}\\ y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ z=t\end{cases}$$ 💡 **Tip:** Este apartado se reduce a geometría en el plano $xy$: busca puntos $(x_0,y_0)$ a distancia 1 de $(0,0)$ y de $(1,0)$ (intersección de dos circunferencias). ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\ell:\ x=\frac{1}{2},\ y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\ z=t}$$ (El interactivo sugiere que la recta buscada es vertical sobre uno de esos dos puntos del plano $xy$.)