Tetraedro en 3D: volumen, área de una cara, altura y distancia entre rectas

De la recta $$\frac{x-1}{2}=y+1=\frac{z}{-1}=t$$ obtenemos una parametrización: $$r:\ \begin{cases}x=1+2t\\ y=-1+t\\ z=-t\end{cases}$$ y por tanto un punto y un vector director: $$P=(1,-1,0),\qquad \vec v_r=(2,1,-1).$$ Para el tetraedro usaremos los vectores desde $A$: $$\overrightarrow{AB}=B-A,\ \overrightarrow{AC}=C-A,\ \overrightarrow{AD}=D-A.$$

**a) [0,5 puntos]** Calculamos: $$\overrightarrow{AB}=(2-1,\,-1-1,\,0-2)=(1,-2,-2),$$ $$\overrightarrow{AC}=(-2-1,\,0-1,\,3-2)=(-3,-1,1),$$ $$\overrightarrow{AD}=(2-1,\,-3-1,\,-1-2)=(1,-4,-3).$$ Los puntos $A,B,C,D$ son coplanarios **si y solo si** el producto mixto vale $0$: $$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\det\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\ -2 & -1 & -4\\ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix}=-3\ne 0.$$ Luego **no** son coplanarios. El volumen del tetraedro es: $$V=\frac{1}{6}\,\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\right|=\frac{1}{6}\,|{-3}|=\frac{1}{2}.$$ 💡 **Tip:** Para comprobar coplanaridad en 3D, lo más directo es un determinante (producto mixto). Si sale distinto de $0$, ya está. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\text{No son coplanarios y }V=\frac{1}{2}}$$

**b) [1 punto]** El área de la cara $ABC$ es $$\text{Área}(ABC)=\frac{1}{2}\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\|.$$ Calculamos el producto vectorial: $$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&-2&-2\\ -3&-1&1 \end{vmatrix}=(-4,\,5,\,-7).$$ Su norma es: $$\|(-4,5,-7)\|=\sqrt{(-4)^2+5^2+(-7)^2}=\sqrt{16+25+49}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$$ Por tanto: $$\text{Área}(ABC)=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{10}=\frac{3}{2}\sqrt{10}.$$ Ahora usamos la relación volumen–base–altura para un tetraedro: $$V=\frac{1}{3}\,\text{Área}(ABC)\,h.$$ Despejando $h$ y usando $V=\frac{1}{2}$: $$h=\frac{3V}{\text{Área}(ABC)}=\frac{3\cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$$ 💡 **Tip:** Si ya tienes el volumen, la altura sale sin ecuaciones de planos: $h=\dfrac{3V}{\text{Área de la base}}$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{Área}(ABC)=\frac{3}{2}\sqrt{10},\qquad h=\frac{1}{\sqrt{10}}}$$

**c) [1 punto]** La recta $BD$ tiene vector director: $$\vec v_{BD}=D-B=(2,-3,-1)-(2,-1,0)=(0,-2,-1).$$ Para dos rectas (posiblemente alabeadas) con directores $\vec v_1,\vec v_2$, la distancia es: $$d=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot(\vec v_1\times \vec v_2)|}{\|\vec v_1\times \vec v_2\|},$$ donde $P$ es un punto de la primera recta y $Q$ un punto de la segunda. Tomamos $P=(1,-1,0)\in r$ (con $t=0$) y $Q=B=(2,-1,0)\in BD$. Entonces: $$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(1,0,0).$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec v_r\times\vec v_{BD}=(2,1,-1)\times(0,-2,-1)=(-3,2,-4),$$ y su norma: $$\|(-3,2,-4)\|=\sqrt{9+4+16}=\sqrt{29}.$$ El producto escalar: $$\overrightarrow{PQ}\cdot(\vec v_r\times\vec v_{BD})=(1,0,0)\cdot(-3,2,-4)=-3.$$ Por tanto: $$d=\frac{|{-3}|}{\sqrt{29}}=\frac{3}{\sqrt{29}}.$$ 💡 **Tip:** En la fórmula, elige $P$ y $Q$ con cuentas fáciles (por ejemplo, $t=0$) para que $\overrightarrow{PQ}$ sea simple. ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{d(r,BD)=\frac{3}{\sqrt{29}}=\frac{3\sqrt{29}}{29}}$$