Geometría en el espacio 2025 Madrid
Optimización de área con perímetro fijo en un pentágono (rectángulo + triángulo equilátero)
Pregunta 2. Un agricultor dispone de 120 metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono.
Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como $A, B, C, D$ y $E$.
Se sabe que $A, B, D$ y $E$ forman un rectángulo, y que el punto $C$ se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos $B$ y $D$.
¿A qué distancia del vértice $A$ el agricultor debe ubicar los vértices $B$ y $E$ si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?
Paso 1
Interpretar la figura y definir variables
El pentágono es $A\!-\!B\!-\!C\!-\!D\!-\!E$.
Como $A,B,D,E$ forman un rectángulo, los lados del rectángulo son:
- $AB$ y $DE$ (paralelos e iguales)
- $BD$ y $AE$ (paralelos e iguales)
Definimos:
$$x=AB\;(\text{en metros}),\qquad y=AE=BD\;(\text{en metros}).$$
Además, $\triangle BCD$ es equilátero con lado $BD$, así que:
$$BC=CD=BD=y.$$
💡 **Tip:** en problemas de máximos con figuras compuestas, conviene **expresar todo con pocas variables** y relacionar longitudes usando las propiedades geométricas (aquí: rectángulo y equilátero).
Paso 2
Escribir la restricción del perímetro (120 m de valla)
El perímetro del pentágono es:
$$AB+BC+CD+DE+EA.$$
Sustituimos longitudes:
- $AB=x$
- $BC=y$
- $CD=y$
- $DE=x$
- $EA=y$
Por tanto:
$$x+y+y+x+y=2x+3y=120.$$
De aquí despejamos:
$$x=\frac{120-3y}{2}.$$
**Restricción de positividad:** para que el rectángulo tenga lados positivos,
$$x>0\Rightarrow 120-3y>0\Rightarrow 0\lt y\lt 40.$$
💡 **Tip:** siempre que despejes una variable en una restricción, revisa el **dominio** (aquí, $0\lt y\lt 40$).
Paso 3
Expresar el área total en función de $x$ e $y$
El área de la parcela es la suma de:
- área del rectángulo $ABDE$: $A_R=xy$
- área del triángulo equilátero $BCD$ (lado $y$):
$$A_T=\frac{\sqrt{3}}{4}y^2.$$
Entonces el área total es:
$$A(x,y)=xy+\frac{\sqrt{3}}{4}y^2.$$
Sustituimos $x=\dfrac{120-3y}{2}$:
$$A(y)=y\cdot\frac{120-3y}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}y^2
=60y-\frac{3}{2}y^2+\frac{\sqrt{3}}{4}y^2.$$
Agrupando los términos en $y^2$:
$$A(y)=60y+\left(\frac{\sqrt{3}-6}{4}\right)y^2.$$
Paso 4
Maximizar $A(y)$ con derivadas
Como $A(y)$ es un polinomio de grado 2 (parábola), maximizamos con la derivada.
Derivamos:
$$A'(y)=60+2\left(\frac{\sqrt{3}-6}{4}\right)y
=60+\left(\frac{\sqrt{3}-6}{2}\right)y.$$
Igualamos a cero:
$$60+\left(\frac{\sqrt{3}-6}{2}\right)y=0
\Rightarrow \left(\frac{6-\sqrt{3}}{2}\right)y=60
\Rightarrow y=\frac{120}{6-\sqrt{3}}.$$
Racionalizamos:
$$y=\frac{120}{6-\sqrt{3}}\cdot\frac{6+\sqrt{3}}{6+\sqrt{3}}
=\frac{120(6+\sqrt{3})}{36-3}
=\frac{120(6+\sqrt{3})}{33}
=\frac{40(6+\sqrt{3})}{11}.$$
Como el coeficiente de $y^2$ en $A(y)$ es $\dfrac{\sqrt{3}-6}{4}\lt 0$, la parábola es cóncava y este punto crítico da un **máximo**.
💡 **Tip:** si la función de área es cuadrática, basta ver si el coeficiente de $y^2$ es negativo para asegurar que el crítico es un máximo.
Paso 5
Calcular $x$ y dar la distancia desde $A$ a $B$ y a $E$
Ya tenemos:
$$y=AE=\frac{40(6+\sqrt{3})}{11}.$$
Ahora calculamos $x=AB$ usando $x=\dfrac{120-3y}{2}$:
$$x=\frac{120-3\cdot\frac{40(6+\sqrt{3})}{11}}{2}
=\frac{120-\frac{120(6+\sqrt{3})}{11}}{2}
=\frac{\frac{1320-120(6+\sqrt{3})}{11}}{2}
=\frac{\frac{600-120\sqrt{3}}{11}}{2}
=\frac{300-60\sqrt{3}}{11}.$$
✅ **Respuesta (distancias desde $A$):**
$$\boxed{\;AB=\frac{300-60\sqrt{3}}{11}\ \text{m},\qquad AE=\frac{40(6+\sqrt{3})}{11}\ \text{m}.\;}$$
Aproximación (por si se pide en metros):
$$AB\approx 17.83\ \text{m},\qquad AE\approx 28.12\ \text{m}.$$