Ecuación matricial con matriz simétrica y sucesión de matrices

Primero calculamos el cuadrado de $A$: $$A^2=A\cdot A= \begin{pmatrix}1&5\\-1&-3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&5\\-1&-3\end{pmatrix}.$$ Multiplicamos fila por columna: $$A^2= \begin{pmatrix} 1\cdot 1+5\cdot(-1) & 1\cdot 5+5\cdot(-3)\\ (-1)\cdot 1+(-3)\cdot(-1) & (-1)\cdot 5+(-3)\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4&-10\\2&4\end{pmatrix}.$$ Entonces: $$A+A^2= \begin{pmatrix}1&5\\-1&-3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-4&-10\\2&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3&-5\\1&1\end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** en ecuaciones matriciales, tener explícitas las matrices que aparecen simplifica mucho el cálculo posterior.

**Apartado a)** Buscamos matrices **simétricas** $B$, así que escribimos: $$B=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}.$$ Calculamos $BA$: $$BA= \begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&5\\-1&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b & 5a-3b\\ b-c & 5b-3c \end{pmatrix}.$$ Ahora calculamos $(A+A^2)B$: $$(A+A^2)B= \begin{pmatrix}-3&-5\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3a-5b & -3b-5c\\ a+b & b+c \end{pmatrix}.$$ La condición $BA=(A+A^2)B$ significa que **las entradas correspondientes son iguales**.

Igualamos las entradas de ambas matrices: 1) Entrada $(1,1)$: $$a-b=-3a-5b\;\Rightarrow\;4a+4b=0\;\Rightarrow\;a+b=0.$$ 2) Entrada $(1,2)$: $$5a-3b=-3b-5c\;\Rightarrow\;5a+5c=0\;\Rightarrow\;a+c=0.$$ 3) Entrada $(2,1)$: $$b-c=a+b\;\Rightarrow\;-a-c=0\;\Rightarrow\;a+c=0\quad(\text{misma ecuación}).$$ 4) Entrada $(2,2)$: $$5b-3c=b+c\;\Rightarrow\;4b-4c=0\;\Rightarrow\;b=c.$$ De $a+b=0$ obtenemos $a=-b$. Además, $a+c=0$ da $c=-a=b$ y coincide con $b=c$. Por tanto, todas las soluciones son: $$B=\begin{pmatrix}-b&b\\b&b\end{pmatrix}=b\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix},\quad b\in\mathbb{R}.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\;B=t\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix},\;t\in\mathbb{R}.\;}$$ 💡 **Tip:** cuando una ecuación matricial es $X=Y$, la forma más segura es igualar **entrada a entrada** y resolver el sistema.

**Apartado b)** La definición dice: $$A_1=A,\qquad A_n=A^2+A_{n-1}\ (n\ge 2).$$ Calculamos los primeros términos para ver el patrón: $$A_2=A^2+A_1=A^2+A,$$ $$A_3=A^2+A_2=A^2+(A^2+A)=2A^2+A,$$ $$A_4=A^2+A_3=A^2+(2A^2+A)=3A^2+A.$$ Se observa: $$A_n=A+(n-1)A^2.$$ **Justificación (inducción):** - Base $n=1$: $A_1=A+(1-1)A^2=A$. - Paso: si $A_{n-1}=A+(n-2)A^2$, entonces $$A_n=A^2+A_{n-1}=A^2+\bigl(A+(n-2)A^2\bigr)=A+(n-1)A^2.$$ ✅ Fórmula válida para todo $n\ge 1$: $$\boxed{\;A_n=A+(n-1)A^2.\;}$$ 💡 **Tip:** en recurrencias del tipo “$A_n=A_{n-1}+\text{constante}$” suele aparecer una fórmula lineal en $n$.

Aplicamos la fórmula: $$A_{2025}=A+2024\,A^2.$$ Como $A^2=\begin{pmatrix}-4&-10\\2&4\end{pmatrix}$, $$2024\,A^2= \begin{pmatrix} 2024\cdot(-4) & 2024\cdot(-10)\\ 2024\cdot 2 & 2024\cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8096&-20240\\4048&8096\end{pmatrix}.$$ Sumamos $A$: $$A_{2025}= \begin{pmatrix}1&5\\-1&-3\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-8096&-20240\\4048&8096\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8095&-20235\\4047&8093\end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\;A_{2025}=\begin{pmatrix}-8095&-20235\\4047&8093\end{pmatrix}.\;}$$