Discusión de un sistema lineal con parámetro mediante determinante y compatibilidad

**Apartado a) [1.5 puntos]** La ecuación matricial equivale a: $$A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\k\\2k\end{pmatrix},$$ con $$ A=\begin{pmatrix} k & 1 & 1\\ k+1 & 1 & -k\\ 1 & k+1 & 0 \end{pmatrix}. $$ En forma de ecuaciones: $$ \begin{cases} kx+y+z=0,\\ (k+1)x+y-kz=k,\\ x+(k+1)y=2k. \end{cases} $$ 💡 **Tip:** En un sistema cuadrado, $\det(A)\neq 0$ garantiza **solución única**. Solo hay que estudiar aparte los valores de $k$ que hacen $\det(A)=0$.

**Apartado a) [1.5 puntos]** Desarrollamos $\det(A)$ por la primera fila: $$ \det(A)= \begin{vmatrix} k & 1 & 1\\ k+1 & 1 & -k\\ 1 & k+1 & 0 \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix}1 & -k\\ k+1 & 0\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}k+1 & -k\\ 1 & 0\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}k+1 & 1\\ 1 & k+1\end{vmatrix}. $$ Calculamos cada menor $2\times 2$: $$ \begin{aligned} \begin{vmatrix}1 & -k\\ k+1 & 0\end{vmatrix} &= 1\cdot 0-(-k)(k+1)=k(k+1),\\ \begin{vmatrix}k+1 & -k\\ 1 & 0\end{vmatrix} &= (k+1)\cdot 0-(-k)\cdot 1=k,\\ \begin{vmatrix}k+1 & 1\\ 1 & k+1\end{vmatrix} &= (k+1)(k+1)-1\cdot 1=(k+1)^2-1. \end{aligned} $$ Sustituimos en el desarrollo: $$ \begin{aligned} \det(A) &= k\,[k(k+1)] - 1\cdot k + \bigl((k+1)^2-1\bigr)\\ &= k^2(k+1) - k + (k^2+2k)\\ &= k^3+2k^2+k\\ &= k(k+1)^2. \end{aligned} $$ Así, $$\boxed{\det(A)=k(k+1)^2}$$ y los valores que anulan el determinante son: $$\boxed{k=0\ \text{o}\ k=-1.}$$

**Apartado a) [1.5 puntos]** Si $k\neq 0$ y $k\neq -1$, entonces $\det(A)\neq 0$ y $A$ es invertible. Por tanto el sistema tiene **solución única**: $$\boxed{\text{Si }k\neq 0,-1\text{ el sistema es compatible determinado (SCD).}}$$

**Apartado a) [1.5 puntos] y Apartado b) [1 punto]** Sustituimos $k=0$: $$ \begin{cases} y+z=0,\\ x+y=0,\\ x+y=0. \end{cases} $$ La segunda y la tercera ecuación coinciden, así que el sistema no puede tener solución única. Resolvemos: - De $x+y=0$ se obtiene $y=-x$. - De $y+z=0$ se obtiene $z=-y=x$. Tomando $x=t$ con $t\in\mathbb{R}$: $$ (x,y,z)=(t,-t,t),\quad t\in\mathbb{R}. $$ Por tanto: $$\boxed{\text{Para }k=0\text{ el sistema es compatible indeterminado (SCI) y }S=\{(t,-t,t):t\in\mathbb{R}\}.}$$

**Apartado a) [1.5 puntos]** Sustituimos $k=-1$: $$ \begin{cases} -x+y+z=0,\\ y+z=-1,\\ x=-2. \end{cases} $$ De $x=-2$ y la primera ecuación: $$ -(-2)+y+z=0\;\Rightarrow\;2+y+z=0\;\Rightarrow\;y+z=-2. $$ Pero la segunda ecuación exige $y+z=-1$. Es una contradicción. Por tanto: $$\boxed{\text{Para }k=-1\text{ el sistema es incompatible (SI), no tiene solución.}}$$

**Apartado a) [1.5 puntos]** En función de $k$: $$ \boxed{ \begin{array}{l} k\neq 0,-1\;\Rightarrow\;\text{SCD (solución única)}\\[2mm] k=0\;\Rightarrow\;\text{SCI (infinitas soluciones)}\\[2mm] k=-1\;\Rightarrow\;\text{SI (sin solución)} \end{array}} $$