Probabilidad y Estadística 2025 Madrid
Probabilidad total y probabilidad condicionada (lectores habituales por edades)
Pregunta 4.2. Entre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el 20% de la población tiene entre 14 y 24 años, el 50% entre 25 y 64 y el resto más de 64 años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el 74% de sus ciudadanos de entre 14 y 24 es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el 65.8% entre los de 25 a 64 y al 53.7% entre los mayores de 64. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de 14 años o más, se pide:
a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea lector habitual.
b) (1.25 puntos) Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre 25 y 64 años.
Paso 1
Definir sucesos y organizar los datos
**Apartado a) [1.25 puntos]**
Definimos los sucesos (grupos de edad):
- $A_1$: “tener entre 14 y 24 años”, $P(A_1)=0.20$.
- $A_2$: “tener entre 25 y 64 años”, $P(A_2)=0.50$.
- $A_3$: “tener más de 64 años”, $P(A_3)=1-0.20-0.50=0.30$.
Y el suceso:
- $L$: “ser lector habitual”.
Probabilidades condicionales dadas:
$$
P(L\mid A_1)=0.74,\quad P(L\mid A_2)=0.658,\quad P(L\mid A_3)=0.537.
$$
Podemos resumirlo en esta tabla:
$$
\begin{array}{c|ccc}
& A_1\ (14\text{ a }24) & A_2\ (25\text{ a }64) & A_3\ (>64)\\ \hline
P(A_i) & 0.20 & 0.50 & 0.30\\
P(L\mid A_i) & 0.74 & 0.658 & 0.537\\
P(\overline{L}\mid A_i) & 0.26 & 0.342 & 0.463
\end{array}
$$
💡 **Tip:** $A_1,A_2,A_3$ son una **partición** (casos posibles y disjuntos), así que para hallar $P(L)$ conviene usar la **probabilidad total**.
Paso 2
Calcular $P(L)$ con la fórmula de la probabilidad total
**Apartado a) [1.25 puntos]**
Aplicamos probabilidad total:
$$
P(L)=P(A_1)P(L\mid A_1)+P(A_2)P(L\mid A_2)+P(A_3)P(L\mid A_3).
$$
Sustituimos:
$$
\begin{aligned}
P(L) &= 0.20\cdot 0.74 + 0.50\cdot 0.658 + 0.30\cdot 0.537\\
&= 0.148 + 0.329 + 0.1611\\
&= 0.6381.
\end{aligned}
$$
Por tanto,
$$\boxed{P(L)=0.6381\;\text{(63.81\%)}}.$$
Paso 3
Calcular $P(\overline{L})$ y $P(A_2\cap\overline{L})$
**Apartado b) [1.25 puntos]**
Primero calculamos la probabilidad de **no** ser lector habitual:
$$
P(\overline{L})=1-P(L)=1-0.6381=0.3619.
$$
Ahora calculamos la probabilidad conjunta de “tener 25 a 64 años y no ser lector habitual”:
$$
P(A_2\cap\overline{L})=P(A_2)\,P(\overline{L}\mid A_2).
$$
Como $P(\overline{L}\mid A_2)=1-P(L\mid A_2)=1-0.658=0.342$, resulta:
$$
P(A_2\cap\overline{L})=0.50\cdot 0.342=0.171.
$$
💡 **Tip:** Para $P(A_2\mid\overline{L})$ necesitaremos el cociente $\dfrac{P(A_2\cap\overline{L})}{P(\overline{L})}$: primero calcula “la parte” ($A_2\cap\overline{L}$) y luego “el total” ($\overline{L}$).
Paso 4
Calcular $P(A_2\mid\overline{L})$ (probabilidad condicionada)
**Apartado b) [1.25 puntos]**
Por definición de probabilidad condicionada:
$$
P(A_2\mid\overline{L})=\frac{P(A_2\cap\overline{L})}{P(\overline{L})}=
\frac{0.171}{0.3619}.
$$
Dividiendo:
$$
P(A_2\mid\overline{L})\approx 0.4725.
$$
Luego,
$$\boxed{P(25\text{ a }64\mid \text{no lector habitual})\approx 0.4725\;\text{(47.25\%)}}.$$