Probabilidad en un espacio finito: operaciones con sucesos y probabilidad condicionada

Sabemos que $P(3)=P(7)=\frac14$. La suma total debe ser $1$, así que para el resto de elementos: $$1-\frac14-\frac14=\frac12.$$Quedan $6$ sucesos elementales con la misma probabilidad, luego cada uno vale: $$p=\frac{\frac12}{6}=\frac{1}{12}.$$ Tabla de probabilidades: | $\omega$ | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | |---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | $P(\omega)$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{12}$ | 💡 **Tip:** En espacios finitos, antes de operar con sucesos conviene tener una tabla (o árbol) con las probabilidades elementales.

Primero calculamos la diferencia $A-C$ (elementos de $A$ que **no** están en $C$): $$A=\{7,11,13,19\},\quad C=\{3,5,7,11,13\}.$$Como $7,11,13\in C$ y $19\notin C$, resulta: $$A-C=\{19\}.$$ Luego su complementario en $E$ es: $$\overline{(A-C)}=E\setminus\{19\}=\{2,3,5,7,11,13,17\}.$$Ahora intersectamos con $B=\{2,5,7,13,17\}$: $$\overline{(A-C)}\cap B=\{2,5,7,13,17\}=B.$$ Por tanto: $$P\big(\overline{(A-C)}\cap B\big)=P(B)=P(2)+P(5)+P(7)+P(13)+P(17).$$ Sustituimos: $$P(B)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}.$$ 💡 **Tip:** Cuando aparezca $\overline{(\cdot)}\cap B$, intenta simplificar el suceso primero (a veces queda exactamente $B$). ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P\big(\overline{(A-C)}\cap B\big)=\frac{7}{12}}$$

Por definición de probabilidad condicionada: $$P\big((A\cap B)\,|\,\overline{C}\big)=\frac{P\big((A\cap B)\cap\overline{C}\big)}{P(\overline{C})},\quad P(\overline{C})>0.$$ Calculamos $A\cap B$: $$A\cap B=\{7,11,13,19\}\cap\{2,5,7,13,17\}=\{7,13\}.$$ Complementario de $C$: $$\overline{C}=E\setminus C=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}\setminus\{3,5,7,11,13\}=\{2,17,19\}.$$ Intersección: $$ (A\cap B)\cap \overline{C}=\{7,13\}\cap\{2,17,19\}=\varnothing,$$ por lo que $$P\big((A\cap B)\cap\overline{C}\big)=0.$$ Además, para comprobar que se puede condicionar: $$P(\overline{C})=P(2)+P(17)+P(19)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{4}>0.$$ Entonces: $$P\big((A\cap B)\,|\,\overline{C}\big)=\frac{0}{\frac{1}{4}}=0.$$ 💡 **Tip:** Si $(A\cap B)\cap \overline{C}=\varnothing$, la probabilidad condicionada es $0$ aunque $P(\overline{C})$ sea distinta de $0$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{P\big((A\cap B)\,|\,\overline{C}\big)=0}$$