Distancia de un punto a un plano y área de un triángulo en el espacio

Escribimos el plano en forma general $ax+by+cz+d=0$: $$x+y-2=0,$$por tanto $a=1,\ b=1,\ c=0,\ d=-2$. La distancia de $P(x_0,y_0,z_0)$ al plano $ax+by+cz+d=0$ es: $$d(P,\pi)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$Sustituimos $P(0,1,1)$: $$d(P,\pi)=\frac{|1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1-2|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}}=\frac{| -1 |}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ 💡 **Tip:** En la fórmula, el denominador $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ es la norma del vector normal del plano $(a,b,c)$. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{d(P,\pi)=\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

La distancia de $P$ al plano se consigue sobre la recta que pasa por $P$ y es **perpendicular** al plano. Un vector normal a $\pi: x+y-2=0$ es: $$\vec n=(1,1,0).$$ La recta perpendicular al plano que pasa por $P(0,1,1)$ es: $$r(t)=P+t\vec n=(0,1,1)+t(1,1,0)=(t,\,1+t,\,1).$$ El punto $Q$ buscado es la intersección de $r(t)$ con el plano $\pi$: $$x+y=2\ \Rightarrow\ t+(1+t)=2\ \Rightarrow\ 2t+1=2\ \Rightarrow\ t=\frac12.$$Por tanto: $$Q=r\!\left(\frac12\right)=\left(\frac12,\frac32,1\right).$$ Comprobación rápida de la distancia: $$\overrightarrow{PQ}=\left(\frac12,\frac12,0\right)\ \Rightarrow\ |PQ|=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac12}=\frac{1}{\sqrt2}=d(P,\pi).$$ 💡 **Tip:** Si el plano es $ax+by+cz+d=0$, una recta perpendicular siempre puede tomarse con dirección $(a,b,c)$. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{Q\left(\frac12,\frac32,1\right)}$$

Primero hallamos los puntos de corte del plano con los ejes: - Con el eje $OX$: $y=0,\ z=0$ en $x+y=2$ $\Rightarrow x=2$. $$A=(2,0,0).$$ - Con el eje $OY$: $x=0,\ z=0$ en $x+y=2$ $\Rightarrow y=2$. $$B=(0,2,0).$$ - Con el eje $OZ$: $x=0,\ y=0$ daría $0=2$, **imposible**, así que no hay corte con $OZ$. El triángulo pedido tiene vértices $P, A, B$. Su área es: $$\text{Área}=\frac12\,\|\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow{PB}\|.$$Calculamos los vectores: $$\overrightarrow{PA}=A-P=(2,0,0)-(0,1,1)=(2,-1,-1),$$$$\overrightarrow{PB}=B-P=(0,2,0)-(0,1,1)=(0,1,-1).$$ Producto vectorial (mostrando el determinante): $$\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow{PB}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 2 & -1 & -1\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}.$$Desarrollamos: $$=\mathbf{i}\big((-1)(-1)-(-1)(1)\big)-\mathbf{j}\big(2(-1)-(-1)\cdot 0\big)+\mathbf{k}\big(2\cdot 1-(-1)\cdot 0\big)$$ $$=\mathbf{i}(1-(-1)) -\mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(2)=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}=(2,2,2).$$ Norma: $$\|\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow{PB}\|=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$Entonces: $$\text{Área}=\frac12\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}.$$ 💡 **Tip:** Para áreas en el espacio, la fórmula $\frac12\|\vec u\times\vec v\|$ evita tener que proyectar o buscar alturas. ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{\text{Área}=\sqrt{3}}$$