Recta y plano: plano perpendicular, recta perpendicular y distancia a un plano

**a) (0.75 puntos) Hallar una ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.** La recta está en forma continua: $$r\equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y}{0}=\frac{z-2}{1}.$$ Tomamos un parámetro $t$: $$\frac{x-1}{2}=t,\qquad \frac{y}{0}=t,\qquad \frac{z-2}{1}=t.$$ De aquí: - $x=1+2t$. - El denominador $0$ indica componente directora nula en $y$, por lo que $y=0$ (constante). - $z=2+t$. Así, $$r:\ (x,y,z)=(1,0,2)+t(2,0,1),\quad t\in\mathbb{R}.$$ Luego: - Un punto de $r$ es $P_0=(1,0,2)$. - Un vector director es $\vec v_r=(2,0,1)$. El plano dado es $\pi: x+2y-3z=1$, con vector normal: $$\vec n_{\pi}=(1,2,-3).$$ 💡 **Tip:** En un plano $Ax+By+Cz=D$, el vector normal es $(A,B,C)$.

Buscamos un plano $\sigma$ que: - Contenga a $r$ $\Rightarrow$ $\vec v_r$ está contenido en $\sigma$ y por tanto $\vec n_{\sigma}\cdot \vec v_r=0$. - Sea perpendicular a $\pi$ $\Rightarrow$ sus normales son perpendiculares: $\vec n_{\sigma}\cdot \vec n_{\pi}=0$. Es decir, $\vec n_{\sigma}$ debe ser perpendicular a $\vec v_r$ y a $\vec n_{\pi}$. Un vector perpendicular a ambos se obtiene con el producto vectorial: $$\vec n_{\sigma}=\vec v_r\times \vec n_{\pi}.$$ Calculamos (mostramos el determinante del producto vectorial): $$\vec v_r\times \vec n_{\pi}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 2 & 0 & 1\\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}.$$ Desarrollamos: - Componente $x$: $$0\cdot(-3)-1\cdot 2=-2.$$ - Componente $y$ (con signo menos): $$-\big(2\cdot(-3)-1\cdot 1\big)=-(-6-1)=7.$$ - Componente $z$: $$2\cdot 2-0\cdot 1=4.$$ Por tanto: $$\vec n_{\sigma}=(-2,7,4).$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a otro se construye imponiendo perpendicularidad entre normales.

El plano $\sigma$ pasa por $P_0=(1,0,2)$ y tiene normal $\vec n_{\sigma}=(-2,7,4)$. Usamos la ecuación punto-normal: $$-2(x-1)+7(y-0)+4(z-2)=0.$$ Desarrollamos: $$-2x+2+7y+4z-8=0\Rightarrow -2x+7y+4z-6=0.$$ Multiplicamos por $-1$ (misma ecuación): $$2x-7y-4z+6=0.$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\sigma:\ 2x-7y-4z+6=0}$$

**b) (0.75 puntos) Hallar una ecuación de la recta contenida en $\pi$ que corta perpendicularmente a $r$.** Si la recta buscada $\ell$ está contenida en $\pi$ y además corta a $r$, el punto de corte debe ser: $$Q=r\cap \pi.$$ Tomamos el punto genérico de $r$: $$P(t)=(1+2t,\,0,\,2+t).$$ Imponemos que pertenezca a $\pi: x+2y-3z=1$: $$(1+2t)+2\cdot 0-3(2+t)=1.$$ Resolvemos: $$1+2t-6-3t=1\Rightarrow -5-t=1\Rightarrow -t=6\Rightarrow t=-6.$$ Por tanto: $$Q=P(-6)=(1-12,\,0,\,2-6)=(-11,0,-4).$$ ✅ Punto de corte: $$\boxed{Q=(-11,0,-4)}$$

La recta $\ell$ debe: - Estar en $\pi$ $\Rightarrow$ su vector director $\vec u$ cumple $\vec u\cdot \vec n_{\pi}=0$. - Ser perpendicular a $r$ $\Rightarrow$ $\vec u\cdot \vec v_r=0$. Así que $\vec u$ es perpendicular a $\vec n_{\pi}$ y a $\vec v_r$. Podemos tomar el mismo vector obtenido antes: $$\vec u=\vec v_r\times \vec n_{\pi}=(-2,7,4).$$ Entonces la recta por $Q$ con dirección $\vec u$ es: $$\ell:\ (x,y,z)=(-11,0,-4)+s(-2,7,4),\quad s\in\mathbb{R}.$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\ell:\ (x,y,z)=(-11,0,-4)+s(-2,7,4)}$$ 💡 **Tip:** “Recta contenida en un plano” $\Rightarrow$ su dirección es perpendicular a la normal del plano.

**c) (1 punto) Calcular los puntos de la recta $r$ cuya distancia al plano $\pi$ es $\sqrt{14}$.** Ponemos el plano en forma general: $$x+2y-3z-1=0.$$ La distancia de un punto $P(x,y,z)$ al plano $Ax+By+Cz+D=0$ es: $$d(P,\pi)=\frac{|Ax+By+Cz+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$ Aquí $A=1$, $B=2$, $C=-3$, $D=-1$, así que: $$\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}=\sqrt{14}.$$ Imponemos la condición: $$\frac{|x+2y-3z-1|}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}\quad\Longrightarrow\quad |x+2y-3z-1|=14.$$ 💡 **Tip:** El denominador de la fórmula de distancia es el módulo del vector normal del plano.

Un punto genérico de $r$ es: $$P(t)=(1+2t,\,0,\,2+t).$$ Calculamos: $$x+2y-3z-1=(1+2t)+2\cdot 0-3(2+t)-1.$$ Simplificamos paso a paso: $$1+2t-6-3t-1=(1-6-1)+(2t-3t)=-6-t.$$ La condición queda: $$|-6-t|=14\quad\Longleftrightarrow\quad |t+6|=14.$$ Resolvemos: 1) $t+6=14\Rightarrow t=8$. 2) $t+6=-14\Rightarrow t=-20$. Puntos: - Para $t=8$: $$P(8)=(1+16,0,2+8)=(17,0,10).$$ - Para $t=-20$: $$P(-20)=(1-40,0,2-20)=(-39,0,-18).$$ ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{(17,0,10)\quad \text{y}\quad (-39,0,-18)}$$