Pintar un muro dividido por una curva trigonométrica

**a) (0.75 puntos) Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función $f(x)$ en el intervalo $[0,12]$. ¿Está la curva en este intervalo $[0,12]$ contenida completamente en el muro?** El muro es un rectángulo con: - Largo $12$ m: $0\le x\le 12$. - Alto $3$ m: $0\le y\le 3$. La curva que divide las dos regiones es: $$f(x)=\cos\left(\frac{\pi x}{9}\right)+2.$$ Queremos los **extremos absolutos** de $f$ en $[0,12]$ y luego comprobar si toda la gráfica queda dentro del muro. 💡 **Tip:** Para funciones con coseno, lo más rápido para máximos y mínimos absolutos suele ser usar que $-1\le\cos(\cdot)\le 1$ y después comprobar dónde se alcanza $1$ o $-1$ dentro del intervalo.

Para todo $x\in\mathbb{R}$ se cumple: $$-1\le \cos\left(\frac{\pi x}{9}\right)\le 1.$$ Sumando $2$ en los tres miembros: $$1\le \cos\left(\frac{\pi x}{9}\right)+2\le 3.$$ Por tanto, en particular en $[0,12]$: $$\boxed{1\le f(x)\le 3}$$ Esto nos dice que: - El **mínimo posible** es $1$. - El **máximo posible** es $3$. Ahora comprobamos si esos valores se alcanzan en algún $x\in[0,12]$.

Recordamos: - $\cos(\theta)=1$ cuando $\theta=2k\pi$. - $\cos(\theta)=-1$ cuando $\theta=(2k+1)\pi$. Aquí $\theta=\dfrac{\pi x}{9}$. **Máximo ($f=3$):** ocurre cuando $\cos(\theta)=1$: $$\frac{\pi x}{9}=2k\pi \ \Rightarrow\ x=18k.$$ En $[0,12]$ solo sirve $k=0$, así que $x=0$ y $$f(0)=\cos(0)+2=1+2=3.$$ **Mínimo ($f=1$):** ocurre cuando $\cos(\theta)=-1$: $$\frac{\pi x}{9}=(2k+1)\pi \ \Rightarrow\ x=9(2k+1).$$ En $[0,12]$ solo sirve $k=0$, así que $x=9$ y $$f(9)=\cos(\pi)+2=-1+2=1.$$ ✅ **Extremos absolutos en $[0,12]$:** $$\boxed{f_{\max}=3\ \text{en}\ x=0,\qquad f_{\min}=1\ \text{en}\ x=9}$$

Para estar contenida completamente en el muro, en el intervalo $[0,12]$ debe cumplirse: $$0\le f(x)\le 3.$$ Ya hemos demostrado que: $$1\le f(x)\le 3\quad \text{para todo }x\in[0,12].$$ Luego: - $f(x)\ge 1\ge 0$ (nunca baja del suelo del muro). - $f(x)\le 3$ (nunca supera el techo; lo toca en $x=0$). ✅ **Respuesta:** $$\boxed{\text{Sí, la curva en }[0,12]\text{ está contenida completamente en el muro.}}$$

**b) (1.25 puntos) Halle el área que tienen que pintar de cada color.** Tomemos como “color 1” la zona **bajo** la curva, es decir: $$A_{\text{bajo}}=\int_{0}^{12} f(x)\,dx=\int_{0}^{12}\left(\cos\left(\frac{\pi x}{9}\right)+2\right)dx.$$ Separamos: $$A_{\text{bajo}}=\int_{0}^{12}\cos\left(\frac{\pi x}{9}\right)dx+\int_{0}^{12}2\,dx.$$ 1) Para la primera integral usamos $\displaystyle \int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C$ con $a=\frac{\pi}{9}$: $$\int \cos\left(\frac{\pi x}{9}\right)dx=\frac{9}{\pi}\sin\left(\frac{\pi x}{9}\right).$$ Aplicamos Barrow: $$\int_{0}^{12}\cos\left(\frac{\pi x}{9}\right)dx=\left[\frac{9}{\pi}\sin\left(\frac{\pi x}{9}\right)\right]_{0}^{12} =\frac{9}{\pi}\left(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)-\sin(0)\right).$$ Como $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\sin(0)=0$: $$\int_{0}^{12}\cos\left(\frac{\pi x}{9}\right)dx=\frac{9}{\pi}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi}.$$ 2) La segunda integral: $$\int_{0}^{12}2\,dx=\left[2x\right]_{0}^{12}=24.$$ Sumamos: $$A_{\text{bajo}}=24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi}.$$ ✅ **Área bajo la curva:** $$\boxed{A_{\text{bajo}}=24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi}\ \text{m}^2}$$ 💡 **Tip:** Cuando hay una constante sumada a una función, el área se reparte: $\int(f+2)=\int f+\int 2$.

El área total del muro (rectángulo $12\times 3$) es: $$A_{\text{muro}}=12\cdot 3=36\ \text{m}^2.$$ Si “color 2” pinta la zona **por encima** de la curva y hasta $y=3$, entonces: $$A_{\text{arriba}}=A_{\text{muro}}-A_{\text{bajo}}.$$ Sustituimos: $$A_{\text{arriba}}=36-\left(24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi}\right)=12+\frac{9\sqrt{3}}{2\pi}.$$ ✅ **Áreas de cada color:** $$\boxed{A_{\text{bajo}}=24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi}\ \text{m}^2\qquad A_{\text{arriba}}=12+\frac{9\sqrt{3}}{2\pi}\ \text{m}^2}$$ (Aproximaciones: $A_{\text{bajo}}\approx 21{,}52$ m$^2$ y $A_{\text{arriba}}\approx 14{,}48$ m$^2$.)

**c) (0.5 puntos) ¿Cuántos botes de spray se tienen que comprar como mínimo para pintar toda el área bajo la curva $f(x)$?** Un bote pinta $3$ m$^2$. Por tanto, el número de botes necesarios para pintar el área bajo la curva es: $$N=\left\lceil\frac{A_{\text{bajo}}}{3}\right\rceil.$$ Sustituimos: $$N=\left\lceil\frac{24-\frac{9\sqrt{3}}{2\pi}}{3}\right\rceil=\left\lceil 8-\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right\rceil.$$ Calculamos una aproximación: $$\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\approx \frac{3\cdot 1{,}732}{6{,}283}\approx 0{,}827,$$ así que: $$8-\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\approx 8-0{,}827=7{,}173\ldots$$ Como no se pueden comprar $7{,}173$ botes, hay que redondear **hacia arriba**. ✅ **Número mínimo de botes:** $$\boxed{N=8}$$ 💡 **Tip:** Cuando el resultado es “número de objetos” (botes, cajas, buses…), se usa siempre el techo: $\lceil\cdot\rceil$.

El interactivo muestra el rectángulo del muro ($0\le x\le 12$, $0\le y\le 3$), la curva $y=f(x)$ y la región bajo la curva en ese intervalo.