Álgebra 2025 Madrid
Polinomio característico y autovector de una matriz $3\times 3$
Pregunta 1.2. Sean la matriz $A=\begin{pmatrix}4&1&0\\2&3&0\\3&2&2\end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 3. Se pide:
a) (1.25 puntos) Calcular el polinomio $P(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ y hallar las raíces reales del polinomio.
b) (1.25 puntos) Para $\lambda=5$, calcular un vector no nulo $\vec v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ que satisfaga que $(A-\lambda I)\vec v=\vec 0$.
Paso 1
Construir la matriz $A-\lambda I$
**a) (1.25 puntos) Calcular el polinomio $P(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ y hallar las raíces reales del polinomio.**
Restamos $\lambda$ a los elementos de la diagonal de $A$:
$$A-\lambda I=\begin{pmatrix}
4-\lambda & 1 & 0\\
2 & 3-\lambda & 0\\
3 & 2 & 2-\lambda
\end{pmatrix}.$$
💡 **Tip:** Para calcular un determinante, conviene desarrollar por una fila/columna con muchos ceros.
Paso 2
Calcular $P(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ desarrollando por la tercera columna
En la tercera columna hay dos ceros, así que desarrollamos por esa columna:
$$P(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 1\\2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.$$
Calculamos el determinante $2\times 2$:
$$\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 1\\2 & 3-\lambda\end{pmatrix}=(4-\lambda)(3-\lambda)-2.$$
Desarrollamos:
$$(4-\lambda)(3-\lambda)=12-7\lambda+\lambda^2,$$
por tanto:
$$(4-\lambda)(3-\lambda)-2=10-7\lambda+\lambda^2=\lambda^2-7\lambda+10.$$
Así:
$$P(\lambda)=(2-\lambda)(\lambda^2-7\lambda+10).$$
Paso 3
Factorizar y obtener las raíces reales
Factorizamos el trinomio:
$$\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-5)(\lambda-2).$$
Entonces:
$$P(\lambda)=(2-\lambda)(\lambda-5)(\lambda-2)=-(\lambda-2)^2(\lambda-5).$$
✅ **Raíces reales (con multiplicidad):**
$$\boxed{\lambda=2\ \text{(doble)},\qquad \lambda=5.}$$
Paso 4
Plantear $(A-5I)\vec v=\vec 0$
**b) (1.25 puntos) Para $\lambda=5$, calcular un vector no nulo $\vec v$ que satisfaga $(A-\lambda I)\vec v=\vec 0$.**
Sustituimos $\lambda=5$ en $A-\lambda I$:
$$A-5I=\begin{pmatrix}
4-5 & 1 & 0\\
2 & 3-5 & 0\\
3 & 2 & 2-5
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0\\
2 & -2 & 0\\
3 & 2 & -3
\end{pmatrix}.$$
El sistema $(A-5I)\vec v=\vec 0$ equivale a:
$$\begin{cases}
-x+y=0 \\
2x-2y=0 \\
3x+2y-3z=0
\end{cases}$$
Paso 5
Resolver el sistema y dar un autovector
De la primera ecuación:
$$-x+y=0\Rightarrow y=x.$$
La segunda ecuación aporta lo mismo ($2x-2y=0$).
Sustituimos $y=x$ en la tercera:
$$3x+2x-3z=0\Rightarrow 5x=3z\Rightarrow x=\frac{3}{5}z.$$
Tomamos un valor cómodo, por ejemplo $z=5$:
$$x=3,\quad y=3,\quad z=5.$$
✅ Un vector no nulo que sirve es:
$$\boxed{\vec v=\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}}$$
💡 **Tip:** Cualquier múltiplo no nulo de un autovector también es autovector.