Álgebra 2025 Madrid
Lanzamientos de 1, 2 y 3 puntos en baloncesto (sistema de ecuaciones)
Pregunta 1.1. (2.5 puntos) En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que:
• El equipo anotó 80 puntos con un acierto del 80% en tiros de uno, del 50% en tiros de dos y del 40% en tiros de tres.
• La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos.
• El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.
Paso 1
Definir variables y traducir el enunciado a lenguaje matemático
**Pregunta 1.1. (2.5 puntos)**
Sea:
- $x$ = número de lanzamientos de **1 punto** (intentados).
- $y$ = número de lanzamientos de **2 puntos** (intentados).
- $z$ = número de lanzamientos de **3 puntos** (intentados).
Con los porcentajes de acierto, el número de canastas anotadas es:
- De 1 punto: $0{,}8x$.
- De 2 puntos: $0{,}5y$.
- De 3 puntos: $0{,}4z$.
💡 **Tip:** Cuando haya porcentajes, puedes trabajar con decimales o (para evitar decimales) multiplicar toda la ecuación por $10$ o $100$.
Paso 2
Ecuación de los puntos anotados
Los puntos totales son la suma de (puntos por canasta)·(canastas anotadas):
$$1\cdot(0{,}8x)+2\cdot(0{,}5y)+3\cdot(0{,}4z)=80.$$
Simplificamos:
$$0{,}8x+y+1{,}2z=80.$$
Multiplicamos por $10$ para evitar decimales:
$$8x+10y+12z=800.$$
Dividimos entre $2$:
$$\boxed{4x+5y+6z=400.}\qquad (1)$$
Paso 3
Ecuaciones de las relaciones entre lanzamientos
De la segunda condición:
$$\frac{1}{3}y=\frac{1}{5}(x+z)$$
porque el “resto de lanzamientos” respecto a los de dos puntos son los de 1 y 3 puntos ($x+z$).
Multiplicamos por $15$:
$$5y=3(x+z)\Rightarrow 3x-5y+3z=0.\qquad (2)$$
De la tercera condición:
“El doble de los lanzamientos de tres es menor en $5$ unidades al resto de lanzamientos”.
El resto respecto a los de tres puntos son los de 1 y 2 puntos ($x+y$), así que:
$$2z=(x+y)-5\Rightarrow x+y-2z=5.\qquad (3)$$
💡 **Tip:** “El doble de $z$ es 5 menos que $x+y$” se traduce como $2z=x+y-5$ (o $x+y=2z+5$).
Paso 4
Resolver el sistema de ecuaciones
Resolvemos el sistema formado por (1), (2) y (3):
$$\begin{cases}
4x+5y+6z=400 \\
3x-5y+3z=0 \\
x+y-2z=5
\end{cases}$$
De (3) despejamos $y$:
$$y=5-x+2z.$$
Sustituimos en (2):
$$3x-5(5-x+2z)+3z=0$$
$$3x-25+5x-10z+3z=0$$
$$8x-25-7z=0\Rightarrow 8x-7z=25.\qquad (A)$$
Sustituimos en (1):
$$4x+5(5-x+2z)+6z=400$$
$$4x+25-5x+10z+6z=400$$
$$-x+25+16z=400\Rightarrow -x+16z=375$$
$$x=16z-375.\qquad (B)$$
Sustituimos (B) en (A):
$$8(16z-375)-7z=25$$
$$128z-3000-7z=25$$
$$121z=3025\Rightarrow z=25.$$
Entonces:
$$x=16\cdot 25-375=400-375=25,$$
y con (3):
$$25+y-2\cdot 25=5\Rightarrow y=30.$$
Paso 5
Comprobar y dar la respuesta final
Comprobación rápida de puntos:
- Canastas de 1: $0{,}8\cdot 25=20$ puntos.
- Canastas de 2: $0{,}5\cdot 30=15$ canastas $\Rightarrow 2\cdot 15=30$ puntos.
- Canastas de 3: $0{,}4\cdot 25=10$ canastas $\Rightarrow 3\cdot 10=30$ puntos.
Total: $20+30+30=80$.
✅ **Respuesta:**
$$\boxed{x=25\ \text{lanzamientos de 1 punto},\quad y=30\ \text{lanzamientos de 2 puntos},\quad z=25\ \text{lanzamientos de 3 puntos}.}$$