Distribuciones Binomial y Normal en control de calidad

**a) [1] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de 10 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya exactamente 1 pieza defectuosa.** Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de piezas en buen estado en un lote de $n = 10$ piezas. Como cada pieza tiene solo dos estados posibles (buen estado o defectuosa) y la probabilidad de estar en buen estado es constante para cada pieza, estamos ante una **Distribución Binomial**. Datos: - Probabilidad de pieza defectuosa: $P(D) = 0.02$ - Probabilidad de pieza en buen estado (éxito): $p = 1 - 0.02 = 0.98$ - Tamaño de la muestra: $n = 10$ La distribución es: $$\boxed{X \sim B(10, \, 0.98)}$$ 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ se aplica cuando tenemos $n$ experimentos independientes con dos posibles resultados y probabilidad de éxito $p$ constante.

Para una distribución binomial $B(n, p)$, las fórmulas son: - Media: $\mu = n \cdot p$ - Desviación típica: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$, donde $q = 1 - p$ Sustituimos los valores: $$\mu = 10 \cdot 0.98 = 9.8$$ $$\sigma = \sqrt{10 \cdot 0.98 \cdot 0.02} = \sqrt{0.196} \approx 0.4427$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\mu = 9.8, \quad \sigma \approx 0.4427}$$

Que haya exactamente 1 pieza defectuosa en un lote de 10 significa que hay exactamente **9 piezas en buen estado**. Por tanto, buscamos $P(X = 9)$. Usamos la fórmula de la probabilidad binomial $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$: $$P(X = 9) = \binom{10}{9} \cdot 0.98^9 \cdot 0.02^{1}$$ Calculamos el número combinatorio $\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!1!} = 10$: $$P(X = 9) = 10 \cdot 0.833748 \cdot 0.02 = 0.1667$$ Alternativamente, si definimos $Y$ como el número de piezas defectuosas, $Y \sim B(10, \, 0.02)$ y calcularíamos $P(Y=1)$, obteniendo el mismo resultado. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(\text{1 defectuosa}) = 0.1667}$$

**b) [1,5] Considere el número de piezas en buen estado de un lote de 2000 piezas. Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica. Calcule la probabilidad de que haya menos de 50 piezas defectuosas.** Sea $X$ la variable que representa el número de piezas en buen estado en un lote de $n = 2000$. Siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior, se trata de una **Distribución Binomial**: $$\boxed{X \sim B(2000, \, 0.98)}$$ Calculamos la media y la desviación típica: $$\mu = n \cdot p = 2000 \cdot 0.98 = 1960$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{2000 \cdot 0.98 \cdot 0.02} = \sqrt{39.2} \approx 6.261$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\mu = 1960, \quad \sigma \approx 6.261}$$

Nos piden la probabilidad de que haya menos de 50 piezas defectuosas. Definamos $Y$ como el número de piezas defectuosas en el lote de 2000: $$Y \sim B(2000, \, 0.02)$$ Queremos calcular $P(Y \lt 50)$. Dado que $n$ es muy grande, comprobamos si podemos aproximar por una Normal: 1. $n \cdot p = 2000 \cdot 0.02 = 40 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 2000 \cdot 0.98 = 1960 \gt 5$ Como se cumplen las condiciones, aproximamos $Y$ por una variable normal $Y' \sim N(\mu_y, \sigma_y)$: $$\mu_y = n \cdot p = 40$$ $$\sigma_y = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{39.2} \approx 6.261$$ Por tanto, $Y \approx Y' \sim N(40, \, 6.261)$. 💡 **Tip:** La aproximación de Moivre-Laplace permite usar la Normal cuando $n$ es grande y $p$ no está excesivamente cerca de 0 o 1.

Para calcular $P(Y \lt 50)$ usando la normal, debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**. Como la variable original es discreta, "menor que 50" significa $Y \le 49$. En la normal, esto abarca hasta el límite superior del intervalo del 49, es decir, $49.5$. $$P(Y \lt 50) = P(Y \le 49) \approx P(Y' \le 49.5)$$ Ahora tipificamos la variable $Z = \frac{Y' - \mu}{\sigma}$: $$P\left( Z \le \frac{49.5 - 40}{6.261} \right) = P\left( Z \le \frac{9.5}{6.261} \right) \approx P(Z \le 1.517)$$ Redondeando a dos decimales para usar la tabla de la normal estándar: $$P(Z \le 1.52)$$ Buscando en la tabla de la $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.52) = 0.9357$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(\text{defectuosas} \lt 50) \approx 0.9357}$$