Probabilidad condicionada y transferencia entre urnas

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos según la bola extraída de cada urna: - $R_1$: Sacar bola roja de la urna $U_1$. - $V_1$: Sacar bola verde de la urna $U_1$. - $R_2$: Sacar bola roja de la urna $U_2$. - $V_2$: Sacar bola verde de la urna $U_2$. **Composición inicial:** - $U_1 = \{2R, 3V\} \rightarrow$ Total = 5 bolas. - $U_2 = \{6R, 3V\} \rightarrow$ Total = 9 bolas. **Transferencia:** Al pasar una bola de $U_1$ a $U_2$, la composición de $U_2$ cambia según lo que hayamos extraído de $U_1$. Si extraemos una bola, $U_2$ pasará a tener **10 bolas**. Representamos el experimento mediante un árbol de probabilidad:

**a) [0,5] Salga una bola roja en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.** Este apartado nos pide la probabilidad condicionada $P(R_2 | R_1)$. Si ha salido una bola roja en $U_1$, la depositamos en $U_2$. La urna $U_2$ inicialmente tenía 6 rojas y 3 verdes. Tras recibir la bola roja de $U_1$, la nueva composición de $U_2$ es: - Rojas: $6 + 1 = 7$ - Verdes: $3$ - Total: $10$ bolas. Aplicando la regla de Laplace: $$P(R_2 | R_1) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{7}{10} = 0,7$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_2 | R_1) = 0,7}$$

**b) [0,5] Salga una bola verde en $U_2$ sabiendo que ha salido roja en $U_1$.** Nos piden $P(V_2 | R_1)$. Bajo la misma condición que el apartado anterior (composición de $U_2$ con $7$ rojas y $3$ verdes): $$P(V_2 | R_1) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{3}{10} = 0,3$$ 💡 **Tip:** También se puede calcular como el complementario de $P(R_2|R_1)$ ya que en la urna solo hay dos colores: $P(V_2 | R_1) = 1 - P(R_2 | R_1) = 1 - 0,7 = 0,3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V_2 | R_1) = 0,3}$$

**c) [0,75] Salga una bola verde en $U_2$.** Para calcular la probabilidad de sacar verde en $U_2$, debemos considerar los dos caminos posibles en el árbol (que haya salido roja en $U_1$ o que haya salido verde en $U_1$). Usamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(V_2) = P(R_1) \cdot P(V_2 | R_1) + P(V_1) \cdot P(V_2 | V_1)$$ 1. Sabemos que $P(R_1) = \frac{2}{5} = 0,4$ y $P(V_1) = \frac{3}{5} = 0,6$. 2. Del apartado anterior, $P(V_2 | R_1) = 0,3$. 3. Si sale verde en $U_1$, $U_2$ tendrá $6$ rojas y $3+1=4$ verdes (Total 10). Por tanto, $P(V_2 | V_1) = \frac{4}{10} = 0,4$. Sustituimos: $$P(V_2) = (0,4 \cdot 0,3) + (0,6 \cdot 0,4) = 0,12 + 0,24 = 0,36$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V_2) = 0,36}$$

**d) [0,75] Haya salido roja en $U_1$ sabiendo que ha salido roja en $U_2$.** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(R_1 | R_2) = \frac{P(R_1 \cap R_2)}{P(R_2)} = \frac{P(R_1) \cdot P(R_2 | R_1)}{P(R_2)}$$ Primero calculamos $P(R_2)$ como el complementario de $P(V_2)$ hallado en el apartado anterior: $$P(R_2) = 1 - P(V_2) = 1 - 0,36 = 0,64$$ Ahora calculamos el numerador: $$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2 | R_1) = 0,4 \cdot 0,7 = 0,28$$ Finalmente: $$P(R_1 | R_2) = \frac{0,28}{0,64} = \frac{28}{64}$$ Simplificamos dividiendo por 4: $$\frac{28}{64} = \frac{7}{16} = 0,4375$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad cuando conocemos el resultado final del experimento. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_1 | R_2) = 0,4375}$$