Intersección de planos, paralelismo y proyección ortogonal

**a) [1] Calcule la ecuación paramétrica de la recta en la que se cortan $\pi_1$ y $\pi_2$.** La recta $r$ viene definida por la intersección de los dos planos: $$r: \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + y - z = 2 \end{cases}$$ Para obtener las ecuaciones paramétricas, resolvemos el sistema. Sumamos ambas ecuaciones miembro a miembro para eliminar $y$ y $z$: $$(x - y + z) + (x + y - z) = 0 + 2 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ Ahora sustituimos $x=1$ en la primera ecuación: $$1 - y + z = 0 \implies y = 1 + z$$ Tomamos $z$ como parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables y despejar las demás en función de esta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}}$$

**b) [0,75] Halle la ecuación de la recta que pasa por $P(1,2,3)$ y no corta ni a $\pi_1$ ni a $\pi_2$.** Para que la recta $s$ no corte a ninguno de los dos planos, debe ser paralela a ambos. Esto significa que su vector director $\vec{v}_s$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 1), \quad \vec{n}_2 = (1, 1, -1)$$ El vector director de la recta buscada será el producto vectorial de los vectores normales: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_s = [(-1) \cdot (-1)\vec{i} + 1 \cdot 1\vec{j} + 1 \cdot 1\vec{k}] - [(-1) \cdot 1\vec{k} + 1 \cdot 1\vec{i} + 1 \cdot (-1)\vec{j}]$$ $$\vec{v}_s = (1\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k}) - (-1\vec{k} + 1\vec{i} - 1\vec{j})$$ $$\vec{v}_s = (1-1)\vec{i} + (1+1)\vec{j} + (1+1)\vec{k} = (0, 2, 2)$$ Podemos simplificar el vector director usando $\vec{u}_s = (0, 1, 1)$. 💡 **Tip:** Un vector director de la recta intersección de dos planos es siempre paralelo a cualquier recta que no corte a dichos planos (paralelismo).

Con el punto $P(1, 2, 3)$ y el vector director $\vec{u}_s = (0, 1, 1)$, escribimos la ecuación de la recta $s$ (por ejemplo, en forma continua o paramétrica): $$s: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \mu \\ z = 3 + \mu \end{cases}$$ Comprobamos que $P$ no pertenece a los planos para asegurar que no se cortan (si $P$ estuviera en los planos, la recta estaría contenida): - En $\pi_1$: $1 - 2 + 3 = 2 \neq 0$ (No pertenece) - En $\pi_2$: $1 + 2 - 3 = 0 \neq 2$ (No pertenece) ✅ **Resultado:** $$\boxed{s: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + \mu \\ z = 3 + \mu \end{cases}}$$

**c) [0,75] Calcule la proyección ortogonal de $P$ en $\pi_1$.** La proyección ortogonal de un punto $P$ sobre un plano $\pi_1$ es el punto de intersección entre el plano y una recta $t$ que pase por $P$ y sea perpendicular al plano. El vector director de la recta $t$ es el vector normal del plano $\pi_1$: $$\vec{v}_t = \vec{n}_1 = (1, -1, 1)$$ Ecuaciones paramétricas de la recta $t$ que pasa por $P(1, 2, 3)$: $$t: \begin{cases} x = 1 + \alpha \\ y = 2 - \alpha \\ z = 3 + \alpha \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La proyección de un punto sobre un plano es siempre el "pie de la perpendicular" que pasa por dicho punto.

Sustituimos las expresiones de la recta $t$ en la ecuación del plano $\pi_1: x - y + z = 0$: $$(1 + \alpha) - (2 - \alpha) + (3 + \alpha) = 0$$ $$1 + \alpha - 2 + \alpha + 3 + \alpha = 0$$ $$3\alpha + 2 = 0 \implies \alpha = -\frac{2}{3}$$ Ahora calculamos las coordenadas del punto de proyección $P'$ sustituyendo $\alpha$ en las paramétricas de $t$: $$x = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ $$y = 2 - \left(-\frac{2}{3}\right) = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$ $$z = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'\left(\frac{1}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{3}\right)}$$