Posición relativa, perpendicular común y distancia entre rectas

**a) [0,5] Compruebe que se cruzan.** En primer lugar, extraemos un punto y un vector director de cada recta a partir de sus ecuaciones paramétricas: Para la recta $r$: - Punto $P_r = (1, 5, 0)$ - Vector director $\vec{d_r} = (0, 1, 1)$ Para la recta $s$: - Punto $P_s = (7, -5, 7)$ - Vector director $\vec{d_s} = (3, 1, 0)$ Calculamos también el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_s} = (7 - 1, -5 - 5, 7 - 0) = (6, -10, 7)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para estudiar la posición relativa, comparamos los vectores directores y el determinante que forman con el vector entre puntos.

Para comprobar que las rectas se cruzan, debemos verificar que los vectores $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$ y $\vec{P_r P_s}$ son linealmente independientes. Esto ocurre si el determinante de la matriz que forman es distinto de cero. Calculamos el determinante: $$\det(\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 6 & -10 & 7 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\det = [0 \cdot 1 \cdot 7 + 3 \cdot (-10) \cdot 1 + 6 \cdot 1 \cdot 0] - [1 \cdot 1 \cdot 6 + 0 \cdot (-10) \cdot 0 + 7 \cdot 1 \cdot 3]$$ $$\det = [0 - 30 + 0] - [6 + 0 + 21] = -30 - 27 = -57$$ Como $\det \neq 0$ y los vectores directores $\vec{d_r}$ y $\vec{d_s}$ no son proporcionales (no son paralelas), concluimos que **las rectas se cruzan**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) [1,5] Halle la ecuación de la recta perpendicular a ambas.** La recta perpendicular común $t$ tendrá como vector director $\vec{d_t}$ el producto vectorial de los vectores directores de $r$ y $s$: $$\vec{d_t} = \vec{d_r} \times \vec{d_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{d_t} = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(0 - 3) + \mathbf{k}(0 - 3) = -1\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$$ $$\vec{d_t} = (-1, 3, -3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de la perpendicular común es siempre perpendicular a ambos vectores directores originales.

La recta $t$ puede expresarse como la intersección de dos planos: - Plano $\pi_1$: contiene a la recta $r$ y al vector $\vec{d_t}$. - Plano $\pi_2$: contiene a la recta $s$ y al vector $\vec{d_t}$. **Plano $\pi_1$:** $$\begin{vmatrix} x - 1 & 0 & -1 \\ y - 5 & 1 & 3 \\ z - 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 0 \implies (x-1)(-3-3) - 0 - 1(y-5-z) = 0$$ $$-6x + 6 - y + 5 + z = 0 \implies 6x + y - z - 11 = 0$$ **Plano $\pi_2$:** $$\begin{vmatrix} x - 7 & 3 & -1 \\ y + 5 & 1 & 3 \\ z - 7 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0 \implies (x-7)(-3) - (y+5)(-9) + (z-7)(9+1) = 0$$ $$-3x + 21 + 9y + 45 + 10z - 70 = 0 \implies -3x + 9y + 10z - 4 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t : \begin{cases} 6x + y - z - 11 = 0 \\ 3x - 9y - 10z + 4 = 0 \end{cases}}$$

**c) [0,5] Calcule la distancia entre $r$ y $s$.** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula con la fórmula: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{d_r} \times \vec{d_s}|}$$ Ya conocemos el valor del determinante del numerador del paso 2 (módulo del producto mixto) y el vector del denominador del paso 3: - $|[\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{P_r P_s}]| = |-57| = 57$ - $|\vec{d_r} \times \vec{d_s}| = |(-1, 3, -3)| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}$ Sustituimos en la fórmula: $$d(r, s) = \frac{57}{\sqrt{19}}$$ Racionalizamos para simplificar: $$d(r, s) = \frac{57\sqrt{19}}{19} = 3\sqrt{19} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = 3\sqrt{19} \approx 13,077 \text{ u}}$$