Integral de la función logarítmica y cálculo de áreas

**a) [1,5] Calcule la integral indefinida $\int f(x)dx$.** Para resolver la integral de una función logarítmica, el método más directo suele ser la **integración por partes**. Recordamos la fórmula: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Definimos los elementos de la integración: - Sea $u = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$ - Sea $dv = dx$ Para hallar $du$, derivamos $u$ usando la regla de la cadena y las propiedades de los logaritmos, o derivando directamente el cociente: $$u = \ln(x+1) - \ln(x) \implies du = \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x}\right)dx = \frac{x - (x+1)}{x(x+1)}dx = \frac{-1}{x(x+1)}dx$$ Para hallar $v$, integramos $dv$: $$v = \int dx = x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(A/B) = \ln A - \ln B$. Esto facilita mucho el cálculo de la derivada de la función logarítmica.

Sustituimos en la fórmula de integración por partes: $$\int \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) dx = x \cdot \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) - \int x \cdot \left(\frac{-1}{x(x+1)}\right) dx$$ Simplificamos el integrando de la segunda parte eliminando la $x$ del numerador y denominador: $$\int f(x)dx = x \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) + \int \frac{1}{x+1} dx$$ La integral resultante es inmediata, del tipo logarítmico: $$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1|$$ Por tanto, la integral indefinida es: $$\int f(x)dx = x \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) + \ln|x+1| + C$$ Podemos simplificar la expresión agrupando los logaritmos: $$x[\ln(x+1) - \ln x] + \ln(x+1) + C = (x+1)\ln(x+1) - x\ln x + C$$ ✅ **Resultado (integral indefinida):** $$\boxed{(x+1)\ln(x+1) - x\ln x + C}$$

**b) [1] Compruebe que el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX entre los valores $x = 1$ y $x = 2$ es $\ln\left(\frac{27}{16}\right)$.** Primero, comprobamos si la función $f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x}\right)$ corta al eje OX en el intervalo $[1, 2]$. Para $x \gt 0$, la fracción $\frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$ es siempre mayor que $1$. Como el logaritmo de un número mayor que $1$ es siempre positivo, sabemos que $f(x) \gt 0$ para todo $x \in [1, 2]$. Por tanto, el área $A$ coincide con la integral definida: $$A = \int_{1}^{2} \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) dx$$ 💡 **Tip:** Si la función fuera negativa en parte del intervalo, tendríamos que dividir la integral o usar valores absolutos para que el área resulte positiva.

Utilizamos la primitiva $F(x) = (x+1)\ln(x+1) - x\ln x$ hallada en el apartado anterior y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = [F(x)]_1^2 = F(2) - F(1)$$ Calculamos $F(2)$: $$F(2) = (2+1)\ln(2+1) - 2\ln(2) = 3\ln 3 - 2\ln 2$$ Calculamos $F(1)$: $$F(1) = (1+1)\ln(1+1) - 1\ln(1) = 2\ln 2 - 0 = 2\ln 2$$ Restamos ambos valores: $$A = (3\ln 3 - 2\ln 2) - (2\ln 2) = 3\ln 3 - 4\ln 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(1) = 0$.

Para llegar a la expresión pedida en el enunciado, aplicamos las propiedades de las potencias y restas de logaritmos: $$3\ln 3 = \ln(3^3) = \ln 27$$ $$4\ln 2 = \ln(2^4) = \ln 16$$ Entonces: $$A = \ln 27 - \ln 16 = \ln\left(\frac{27}{16}\right)$$ Como queríamos demostrar, el área es $\ln\left(\frac{27}{16}\right)$. ✅ **Resultado (comprobación del área):** $$\boxed{A = \ln\left(\frac{27}{16}\right) \text{ u}^2}$$