Optimización del área de un triángulo rectángulo

**a) [0,5] Demuestre que su área viene dada por la expresión $f(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{98 - x^2}$.** En un triángulo rectángulo de catetos $x$ e $y$ e hipotenusa $h = 7\sqrt{2}$, se cumple el Teorema de Pitágoras: $$x^2 + y^2 = h^2$$ Sustituimos el valor de la hipotenusa: $$x^2 + y^2 = (7\sqrt{2})^2$$ $$x^2 + y^2 = 49 \cdot 2 = 98$$ Despejamos la variable $y$ en función de $x$: $$y^2 = 98 - x^2 \implies y = \sqrt{98 - x^2}$$ 💡 **Tip:** Puesto que $y$ representa la longitud de un cateto, tomamos solo la raíz positiva. Además, para que la raíz exista y el triángulo sea real, debe cumplirse que $x \gt 0$ y $98 - x^2 \gt 0$, es decir, $0 \lt x \lt \sqrt{98}$.

El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos (base por altura): $$A = \frac{x \cdot y}{2}$$ Sustituimos la expresión de $y$ hallada anteriormente: $$f(x) = \frac{x \cdot \sqrt{98 - x^2}}{2} = \frac{1}{2}x\sqrt{98 - x^2}$$ Esta es la expresión buscada para el área en función del cateto $x$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{98 - x^2}}$$

**b) [2] Calcule las dimensiones que debe tener dicho triángulo para que su área sea la mayor posible. ¿Cuál es el valor de dicha área máxima?** Para maximizar el área, derivamos $f(x)$ respecto a $x$ usando la regla del producto y la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 \cdot \sqrt{98 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{98 - x^2}} \right]$$ Simplificamos la expresión: $$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \sqrt{98 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{98 - x^2}} \right]$$ $$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(\sqrt{98 - x^2})^2 - x^2}{\sqrt{98 - x^2}} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{98 - x^2 - x^2}{\sqrt{98 - x^2}} \right]$$ $$f'(x) = \frac{98 - 2x^2}{2\sqrt{98 - x^2}} = \frac{49 - x^2}{\sqrt{98 - x^2}}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\sqrt{u}$, recuerda que $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles máximos: $$f'(x) = 0 \implies \frac{49 - x^2}{\sqrt{98 - x^2}} = 0 \implies 49 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 49 \implies x = \pm 7$$ Como $x$ representa una longitud, descartamos la solución negativa. Por tanto, el único punto crítico en nuestro dominio $(0, \sqrt{98})$ es **$x = 7$**.

Analizamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x = 7$ para confirmar que se trata de un máximo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0,7) & 7 & (7,\sqrt{98})\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \text{Creciente (\nearrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\searrow)} \end{array}$$ - Para $x=1$: $f'(1) = \frac{49-1}{\sqrt{98-1}} \gt 0$. - Para $x=8$: $f'(8) = \frac{49-64}{\sqrt{98-64}} \lt 0$. Como la función pasa de crecer a decrecer en $x=7$, hay un **máximo relativo**.

Calculamos el valor del otro cateto $y$ cuando $x = 7$: $$y = \sqrt{98 - 7^2} = \sqrt{98 - 49} = \sqrt{49} = 7 \text{ cm}$$ El triángulo óptimo es un **triángulo rectángulo isósceles** de catetos $7$ cm. Calculamos el área máxima: $$A_{máx} = f(7) = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 = \frac{49}{2} = 24,5 \text{ cm}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dimensiones: } x = 7 \text{ cm}, y = 7 \text{ cm}. \text{ Área máxima: } 24,5 \text{ cm}^2}$$