Inversas y ecuaciones matriciales

**a) [1,25] Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares (o invertibles) y calcule sus matrices inversas.** Una matriz es regular o invertible si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3) - (1 \cdot 1) = 6 - 1 = 5.$$ Como $|A| = 5 \neq 0$, la matriz **$A$ es regular**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada $n \times n$ tiene inversa si y solo si su rango es $n$, lo cual equivale a que su determinante sea no nulo.

Para calcular $A^{-1}$ usamos la fórmula: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \text{adj}(A^t)$. 1. Hallamos la matriz transpuesta $A^t$: $$A^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$ (En este caso coincide con $A$ por ser una matriz simétrica). 2. Hallamos la matriz adjunta de la transpuesta: $$\text{adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos la inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 & -1/5 \\ -1/5 & 2/5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz $A^{-1}$):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0,6 & -0,2 \\ -0,2 & 0,4 \end{pmatrix}}$$

Calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 2) = 1 - 0 = 1.$$ Como $|B| = 1 \neq 0$, la matriz **$B$ es regular**. 💡 **Tip:** El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es siempre el producto de los elementos de su diagonal principal.

Calculamos $B^{-1}$ siguiendo el mismo procedimiento: 1. Hallamos $B^t$: $$B^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Hallamos la matriz adjunta de la transpuesta: $$\text{adj}(B^t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos la inversa: $$B^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz $B^{-1}$):** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,25] Resuelva la ecuación $A^t XB = C$, donde $A^t$ es la transpuesta de $A$.** Para resolver la ecuación $A^t XB = C$, debemos despejar $X$ multiplicando por las matrices inversas correspondientes. Como el producto de matrices no es conmutativo, el orden es fundamental: 1. Multiplicamos por $(A^t)^{-1}$ por la **izquierda**: $$(A^t)^{-1} A^t XB = (A^t)^{-1} C \implies I \cdot XB = (A^t)^{-1} C \implies XB = (A^t)^{-1} C$$ 2. Multiplicamos por $B^{-1}$ por la **derecha**: $$XB B^{-1} = (A^t)^{-1} C B^{-1} \implies X \cdot I = (A^t)^{-1} C B^{-1}$$ Por tanto: $$X = (A^t)^{-1} C B^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$. En nuestro caso, como $A$ es simétrica ($A = A^t$), entonces $(A^t)^{-1} = A^{-1}$.

Primero calculamos el producto $(A^t)^{-1} C$. Usamos $(A^t)^{-1} = A^{-1}$: $$(A^t)^{-1} C = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 15-5 & 0 \\ -5+10 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos el resultado por $B^{-1}$ por la derecha: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) & 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$