Sistema de ecuaciones con parámetros: Sueldos de músicos

**a) [0,75] Denotando por $x$ el sueldo de Darío, por $y$ el sueldo de Hugo y por $z$ el sueldo de José, plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que represente los datos del ejercicio.** Para plantear el sistema, traducimos cada frase del enunciado a lenguaje algebraico utilizando las variables indicadas: 1. El sueldo de Darío ($x$) es el de Hugo ($y$) multiplicado por $m$: $$x = m \cdot y \implies x - my = 0$$ 2. El sueldo de Hugo ($y$) es el doble del de José ($z$): $$y = 2z \implies y - 2z = 0$$ 3. La suma del sueldo de José multiplicado por $m$ ($m z$) más el de Darío ($x$) más el de Hugo ($y$) es $600$: $$mz + x + y = 600 \implies x + y + mz = 600$$ 💡 **Tip:** Es fundamental ordenar las ecuaciones con las variables $x, y, z$ en el mismo orden para facilitar el uso de matrices posteriormente. El sistema resultante es: $$\boxed{\begin{cases} x - my = 0 \\ y - 2z = 0 \\ x + y + mz = 600 \end{cases}}$$

**b) [0,25] Justifique que con estos datos se puede conocer el sueldo de cada uno (que solo dependerá de $m$).** Para justificar que el sueldo se puede conocer de forma única (sistema compatible determinado), analizamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -m & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante por la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot m) + (-m \cdot (-2) \cdot 1) + (0 \cdot 0 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 0) - (1 \cdot (-2) \cdot 1) - (m \cdot 0 \cdot (-m))$$ $$|A| = m + 2m + 0 - 0 + 2 - 0 = 3m + 2$$ Como el enunciado indica que $m > 0$, entonces $3m + 2$ siempre será mayor que $2$, y por lo tanto, **$|A| \neq 0$** para cualquier valor permitido de $m$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $|A| \neq 0$, el rango de la matriz es igual al número de incógnitas ($n=3$), por lo que el sistema es **Compatible Determinado**. Esto garantiza que existe una solución única para cada valor de $m$. 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema lineal tiene solución única si y solo si el determinante de su matriz de coeficientes es distinto de cero. $$\boxed{|A| = 3m + 2 \neq 0 \implies \text{SCD (Solución única)}}$$

**c) [1,5] Calcule la expresión general de cada sueldo (en función de $m$), y lo que cobra cada uno para $m = 2$.** Resolvemos el sistema utilizando el método de sustitución, que resulta muy sencillo en este caso: 1. De la segunda ecuación: $y = 2z$ 2. Sustituimos $y$ en la primera: $x = m(2z) = 2mz$ 3. Sustituimos ambos en la tercera ecuación: $$2mz + 2z + mz = 600$$ $$3mz + 2z = 600$$ $$z(3m + 2) = 600 \implies z = \frac{600}{3m + 2}$$ Ahora calculamos $y$ y $x$: $$y = 2z = \frac{1200}{3m + 2}$$ $$x = m y = \frac{1200m}{3m + 2}$$ ✅ **Expresiones generales:** $$\boxed{x = \frac{1200m}{3m + 2}, \quad y = \frac{1200}{3m + 2}, \quad z = \frac{600}{3m + 2}}$$

Para $m = 2$, sustituimos el valor en las expresiones obtenidas: - Denominador común: $3(2) + 2 = 8$ - Sueldo de José ($z$): $$z = \frac{600}{8} = 75 €$$ - Sueldo de Hugo ($y$): $$y = \frac{1200}{8} = 150 €$$ - Sueldo de Darío ($x$): $$x = \frac{1200(2)}{8} = \frac{2400}{8} = 300 €$$ 💡 **Tip:** Comprobamos rápidamente: Hugo cobra el doble que José ($150 = 2 \cdot 75$) y Darío cobra el doble que Hugo si $m=2$ ($300 = 2 \cdot 150$). La suma final cumple la condición del enunciado. ✅ **Resultado para $m = 2$:** $$\boxed{\text{Darío: } 300 €, \quad \text{Hugo: } 150 €, \quad \text{José: } 75 €}$$