Aproximación de la Binomial a la Normal

**a) [0,5] Diga qué tipo de distribución de probabilidad es, indicando la media y la desviación típica.** Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de pasajeros que se presentan en el aeropuerto de los 280 que compraron billete. Cada pasajero es un experimento independiente con dos posibles resultados (se presenta o no se presenta), por lo que estamos ante una **distribución Binomial**: - Número de ensayos (billetes vendidos): $n = 280$ - Probabilidad de éxito (presentarse): $p = 0.95$ - Probabilidad de fracaso (no presentarse): $q = 1 - p = 0.05$ Por tanto, $X \sim B(280, \, 0.95)$. Calculamos la media ($\mu$) y la desviación típica ($\sigma$): $$\mu = n \cdot p = 280 \cdot 0.95 = 266$$ $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{280 \cdot 0.95 \cdot 0.05} = \sqrt{13.3} \approx 3.647$$ 💡 **Tip:** En una distribución binomial $B(n, p)$, la media es $np$ y la desviación típica es $\sqrt{npq}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X \sim B(280, \, 0.95); \quad \mu = 266; \quad \sigma \approx 3.647}$$

Dado que el número de ensayos $n=280$ es elevado y se cumplen las condiciones de aproximación: 1. $n \cdot p = 266 > 5$ 2. $n \cdot q = 14 > 5$ Podemos aproximar la distribución Binomial a una **distribución Normal** $X \approx N(\mu, \sigma)$: $$X \approx N(266, \, 3.647)$$ Para realizar cálculos sobre valores discretos usando una distribución continua, aplicaremos la **corrección de continuidad de Yates**. 💡 **Tip:** Al pasar de discreta a continua, un valor puntual $k$ se convierte en el intervalo $[k-0.5, k+0.5]$.

**b) [0,75] Calcule la probabilidad de que falten plazas en el avión.** Faltarán plazas si el número de pasajeros que se presentan es mayor que la capacidad del avión (260). Es decir, buscamos $P(X \gt 260)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(X \gt 260) \to P(X' \ge 260.5)$$ Tipificamos la variable $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$Z = \frac{260.5 - 266}{3.647} = \frac{-5.5}{3.647} \approx -1.508 \approx -1.51$$ Calculamos la probabilidad: $$P(Z \ge -1.51) = P(Z \le 1.51)$$ Consultando la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.51) = 0.9345$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X > 260) \approx 0.9345}$$

**c) [0,5] Calcule la probabilidad de que no falten plazas en el avión.** No faltarán plazas si se presentan 260 pasajeros o menos. Este es el suceso contrario al calculado en el apartado anterior: $$P(X \le 260) = 1 - P(X \gt 260)$$ Utilizando el valor obtenido anteriormente: $$P(X \le 260) = 1 - 0.9345 = 0.0655$$ 💡 **Tip:** El suceso "no faltan plazas" incluye desde que no se presenta nadie hasta que se presentan exactamente 260. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 260) \approx 0.0655}$$

**d) [0,75] Calcule la probabilidad de que ni sobren ni falten plazas en el avión.** Este caso ocurre cuando se presentan exactamente 260 pasajeros, es decir, $P(X = 260)$. Aplicando la corrección de continuidad en la aproximación normal, calculamos el área en el intervalo $[259.5, \, 260.5]$: $$P(259.5 \le X' \le 260.5) = P\left(\frac{259.5 - 266}{3.647} \le Z \le \frac{260.5 - 266}{3.647}\right)$$ $$P(-1.782 \le Z \le -1.508) \approx P(-1.78 \le Z \le -1.51)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(1.51 \le Z \le 1.78) = P(Z \le 1.78) - P(Z \le 1.51)$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 1.78) = 0.9625$ - $P(Z \le 1.51) = 0.9345$ Restamos: $$0.9625 - 0.9345 = 0.028$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 260) \approx 0.028}$$