Probabilidad y Estadística 2025 Murcia
Probabilidad total y Teorema de Bayes en salas de cine
4A) En un cine hay tres salas. En la sala $S_1$ hay 240 espectadores, en la sala $S_2$ hay 180 y en la sala $S_3$ hay 80. Se sabe que la película de la sala $S_1$ gusta al $40\%$ de los espectadores, la de la sala $S_2$ al $50\%$ y la de la sala $S_3$ al $90\%$. Cuando acaban las tres películas se elige a un espectador al azar.
a) [1] Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.
b) [0,5] Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala $S_3$.
c) [1] Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala $S_3$ si le ha gustado.
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**a) [1] Calcule la probabilidad de que le haya gustado la película.**
Primero, definimos los sucesos del experimento:
- $S_1$: El espectador está en la sala 1.
- $S_2$: El espectador está en la sala 2.
- $S_3$: El espectador está en la sala 3.
- $G$: Al espectador le gusta la película.
- $\bar{G}$: Al espectador no le gusta la película.
Calculamos el número total de espectadores: $240 + 180 + 80 = 500$.
Las probabilidades de estar en cada sala son:
- $P(S_1) = \dfrac{240}{500} = 0,48$
- $P(S_2) = \dfrac{180}{500} = 0,36$
- $P(S_3) = \dfrac{80}{500} = 0,16$
Las probabilidades condicionadas (lo que gusta en cada sala) son:
- $P(G|S_1) = 0,40$
- $P(G|S_2) = 0,50$
- $P(G|S_3) = 0,90$
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que le haya gustado la película, $P(G)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(G) = P(S_1) \cdot P(G|S_1) + P(S_2) \cdot P(G|S_2) + P(S_3) \cdot P(G|S_3)$$
Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:
$$P(G) = (0,48 \cdot 0,40) + (0,36 \cdot 0,50) + (0,16 \cdot 0,90)$$
$$P(G) = 0,192 + 0,18 + 0,144 = 0,516$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G) = 0,516}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada directa
**b) [0,5] Calcule la probabilidad de que le haya gustado si ha estado en la sala $S_3$.**
Este apartado nos pide la probabilidad condicionada $P(G|S_3)$. El enunciado indica directamente que la película de la sala $S_3$ gusta al $90\%$ de los espectadores.
Por tanto:
$$P(G|S_3) = \frac{90}{100} = 0,90$$
💡 **Tip:** Lee bien el enunciado; a veces la probabilidad pedida es un dato directo o una rama inmediata del árbol.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G|S_3) = 0,90}$$
Paso 4
Aplicación del Teorema de Bayes
**c) [1] Calcule la probabilidad de que haya estado en la sala $S_3$ si le ha gustado.**
Se nos pide la probabilidad de que, sabiendo que le ha gustado ($G$), el espectador provenga de la sala $S_3$. Esto es $P(S_3|G)$.
Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(S_3|G) = \frac{P(S_3) \cdot P(G|S_3)}{P(G)}$$
Utilizamos el valor de $P(G)$ calculado en el apartado (a):
$$P(S_3|G) = \frac{0,16 \cdot 0,90}{0,516} = \frac{0,144}{0,516}$$
Simplificamos la fracción o calculamos el decimal:
$$P(S_3|G) = \frac{144}{516} = \frac{12}{43} \approx 0,2791$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicionalidad: pasar de conocer $P(G|S_3)$ a calcular $P(S_3|G)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(S_3|G) = \frac{12}{43} \approx 0,2791}$$