Trayectoria mínima, punto de aterrizaje y distancia punto-plano

**a) [1] Calcule la ecuación en forma continua de la recta de la trayectoria que lo lleve al punto más cercano a $\pi$.** El punto de un plano más cercano a un punto exterior $P$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre dicho plano. Por tanto, la trayectoria que debe seguir el helicóptero es la de una recta $r$ que pase por $P$ y sea perpendicular al plano $\pi$. Si la recta $r$ es perpendicular al plano, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser paralelo (o igual) al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Del plano $\pi : x+y+3z = 0$, extraemos su vector normal: $$\vec{n_\pi} = (1, 1, 3)$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta: $$\vec{v_r} = (1, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** El punto más cercano de un plano a un punto exterior siempre se encuentra sobre la recta perpendicular al plano que pasa por dicho punto.

Para escribir la ecuación de la recta $r$ en forma continua, necesitamos un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y un vector director $\vec{v_r} = (v_1, v_2, v_3)$. La fórmula es: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituimos el punto $P(1, 2, 1)$ y el vector $\vec{v_r} = (1, 1, 3)$: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{3}$$ ✅ **Resultado (Ecuación continua):** $$\boxed{\frac{x - 1}{1} = y - 2 = \frac{z - 1}{3}}$$

**b) [0,75] Halle dicho punto.** El punto de aterrizaje $Q$ es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Para hallarlo, expresamos la recta en ecuaciones paramétricas: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 1 + 3\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi: x + y + 3z = 0$: $$(1 + \lambda) + (2 + \lambda) + 3(1 + 3\lambda) = 0$$ Ahora resolvemos para $\lambda$: $$1 + \lambda + 2 + \lambda + 3 + 9\lambda = 0$$ $$11\lambda + 6 = 0 \implies 11\lambda = -6 \implies \lambda = -\frac{6}{11}$$ 💡 **Tip:** Al sustituir las paramétricas de la recta en el plano, el valor de $\lambda$ obtenido nos indica a qué "distancia relativa" vectorial se encuentra el punto de corte.

Sustituimos $\lambda = -\dfrac{6}{11}$ en las ecuaciones paramétricas de la recta para obtener las coordenadas del punto $Q$: $$x = 1 + \left(-\frac{6}{11}\right) = \frac{11 - 6}{11} = \frac{5}{11}$$ $$y = 2 + \left(-\frac{6}{11}\right) = \frac{22 - 6}{11} = \frac{16}{11}$$ $$z = 1 + 3\left(-\frac{6}{11}\right) = 1 - \frac{18}{11} = \frac{11 - 18}{11} = -\frac{7}{11}$$ ✅ **Resultado (Punto de aterrizaje):** $$\boxed{Q\left(\frac{5}{11}, \frac{16}{11}, -\frac{7}{11}\right)}$$

**c) [0,75] Calcule la distancia que debe recorrer.** La distancia que recorre el helicóptero es la distancia entre el punto inicial $P(1, 2, 1)$ y el punto de aterrizaje $Q$. Esto equivale a la distancia del punto $P$ al plano $\pi$. Podemos usar la fórmula directa de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituyendo los datos: $$d(P, \pi) = \frac{|1(1) + 1(2) + 3(1) + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2}}$$ $$d(P, \pi) = \frac{|1 + 2 + 3|}{\sqrt{1 + 1 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{11}}$$ Para expresar el resultado correctamente, racionalizamos: $$\frac{6}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{6\sqrt{11}}{11} \approx 1.81 \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber calculado el módulo del vector $\vec{PQ}$, pero la fórmula del punto al plano suele ser más rápida y evita errores de arrastre si calculaste mal las coordenadas de $Q$.

La distancia recorrida es el módulo del desplazamiento desde la posición inicial hasta el plano en trayectoria perpendicular. ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d = \frac{6\sqrt{11}}{11} \text{ unidades de distancia}}$$