Incidencia de recta y plano con parámetros

**a) [1,25] Determine el valor de $a$ y $b$ para que el plano $\pi : 2x+y+az = b$ contenga a la recta $r$.** Para trabajar con la recta $r$, primero obtenemos un punto $P_r$ y su vector director $\vec{v}_r$. La recta viene dada como intersección de dos planos. Calculamos el vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\vec{v}_r = (1 - (-2))\mathbf{i} - (1 - (-1))\mathbf{j} + (-2 - (-1))\mathbf{k} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (3, -2, -1)$$ Buscamos un punto $P_r$ de la recta asignando un valor a una de las variables, por ejemplo $z = 0$: $$\begin{cases} x+y = 1 \\ -x-2y = 0 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $-y = 1 \implies y = -1$. Sustituyendo en la primera: $x - 1 = 1 \implies x = 2$. Por tanto, $P_r(2, -1, 0)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$, deben cumplirse dos condiciones: 1. El vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (2, 1, a)$. 2. Cualquier punto de la recta, por ejemplo $P_r$, debe pertenecer al plano. **Condición 1 (Ortogonalidad):** $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0 \implies (3, -2, -1) \cdot (2, 1, a) = 0$$ $$6 - 2 - a = 0 \implies 4 - a = 0 \implies \mathbf{a = 4}$$ **Condición 2 (Pertenencia del punto):** Sustituimos $P_r(2, -1, 0)$ en la ecuación del plano $\pi$ con $a = 4$: $$2(2) + 1(-1) + 4(0) = b$$ $$4 - 1 = b \implies \mathbf{b = 3}$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{a = 4, \quad b = 3}$$

**b) [1,25] ¿Para qué valores de $a$ y $b$ corta $r$ a $\pi$? Halle el punto de corte en el caso $a = 0$ y $b = 7$.** Una recta corta a un plano en un único punto si y solo si la recta no es paralela al plano (ni está contenida en él). Esto ocurre cuando el vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$$ Reutilizando el cálculo anterior: $$4 - a \neq 0 \implies \mathbf{a \neq 4}$$ El valor de $b$ no influye en el hecho de que se corten, solo determina la posición del punto de corte. Por tanto, la recta corta al plano para cualquier valor de $b$ siempre que $a \neq 4$. 💡 **Tip:** Si $a=4$ y $b=3$, la recta está contenida (infinitos puntos de corte). Si $a=4$ y $b \neq 3$, la recta es paralela al plano (ningún punto de corte).

Para $a = 0$ y $b = 7$, el plano es $\pi: 2x + y = 7$. Escribimos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas usando $P_r(2, -1, 0)$ y $\vec{v}_r(3, -2, -1)$: $$r : \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -1 - 2\lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$2(2 + 3\lambda) + (-1 - 2\lambda) = 7$$ $$4 + 6\lambda - 1 - 2\lambda = 7$$ $$3 + 4\lambda = 7 \implies 4\lambda = 4 \implies \mathbf{\lambda = 1}$$ Calculamos las coordenadas del punto de corte $Q$ sustituyendo $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$: $$x = 2 + 3(1) = 5$$ $$y = -1 - 2(1) = -3$$ $$z = -(1) = -1$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{Se cortan si } a \neq 4, \forall b \in \mathbb{R}. \quad \text{Punto de corte: } (5, -3, -1)}$$