Integral de la función tangente al cubo y cálculo de áreas

**a) [1,5] Calcule la integral indefinida $\int f(x) dx$.** Para resolver la integral de $\text{tg}^3(x)$, utilizaremos la identidad trigonométrica fundamental: $$1 + \text{tg}^2(x) = \sec^2(x) \implies \text{tg}^2(x) = \sec^2(x) - 1$$ Descomponemos la potencia del integrando: $$\int \text{tg}^3(x) dx = \int \text{tg}(x) \cdot \text{tg}^2(x) dx$$ Sustituimos la identidad anterior: $$\int \text{tg}(x) (\sec^2(x) - 1) dx = \int (\text{tg}(x) \sec^2(x) - \text{tg}(x)) dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral, separamos en dos: $$\int \text{tg}(x) \sec^2(x) dx - \int \text{tg}(x) dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de la tangente es la secante al cuadrado, lo que facilita mucho la resolución de integrales con estas funciones combinadas.

Resolvemos cada parte por separado: 1. Para la primera integral $\int \text{tg}(x) \sec^2(x) dx$, observamos que es de la forma $\int u \cdot u' dx$, cuya solución es $\frac{u^2}{2}$: $$\int \text{tg}(x) \sec^2(x) dx = \frac{\text{tg}^2(x)}{2}$$ 2. Para la segunda integral $\int \text{tg}(x) dx$, recordamos que $\text{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Es una integral de tipo logarítmico (casi la derivada del denominador está en el numerador): $$\int \text{tg}(x) dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} dx = -\ln|\cos(x)|$$ Combinando ambos resultados: $$\int \text{tg}^3(x) dx = \frac{\text{tg}^2(x)}{2} - (-\ln|\cos(x)|) + C$$ ✅ **Resultado de la integral indefinida:** $$\boxed{\int \text{tg}^3(x) dx = \frac{1}{2}\text{tg}^2(x) + \ln|\cos(x)| + C}$$

**b) [0,75] Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX entre los valores $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{4}$.** En el intervalo $[0, \pi/4]$, la función $\text{tg}(x)$ es positiva o cero, por lo que $f(x) = \text{tg}^3(x) \ge 0$. El área viene dada por la integral definida: $$Area = \int_{0}^{\pi/4} \text{tg}^3(x) dx$$ Utilizamos la primitiva hallada en el apartado anterior y aplicamos la **Regla de Barrow**: $$Area = \left[ \frac{1}{2}\text{tg}^2(x) + \ln(\cos(x)) \right]_{0}^{\pi/4}$$ Note que en este intervalo el coseno es positivo, por lo que podemos omitir el valor absoluto. Calculamos los valores en los extremos: - Para $x = \frac{\pi}{4}$: $\frac{1}{2}\text{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}\right) + \ln\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{2}(1)^2 + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ - Para $x = 0$: $\frac{1}{2}\text{tg}^2(0) + \ln(\cos(0)) = \frac{1}{2}(0)^2 + \ln(1) = 0 + 0 = 0$ 💡 **Tip:** No olvides que $\text{tg}(\pi/4) = 1$ y $\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{Area = \frac{1}{2} + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \text{ unidades}^2}$$

**c) [0,25] Demuestre, sin aproximar con números decimales, que el área pedida en el apartado anterior es igual a $\frac{1}{2} \ln\left(\frac{e}{2}\right)$.** Partimos de la expresión obtenida: $$Area = \frac{1}{2} + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ Utilizamos que $\frac{1}{2} = \ln(e^{1/2})$ y las propiedades de los logaritmos (suma de logaritmos es logaritmo del producto): $$Area = \ln(e^{1/2}) + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \ln\left(e^{1/2} \cdot \frac{2^{1/2}}{2}\right)$$ Como $e^{1/2} \cdot 2^{1/2} = (2e)^{1/2}$: $$Area = \ln\left(\frac{(2e)^{1/2}}{2}\right)$$ Para llegar a la forma pedida, es más sencillo operar así: $$Area = \frac{1}{2} + \ln(2^{1/2}) - \ln(2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln(2) - \ln(2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln(2)$$ Factorizamos $\frac{1}{2}$: $$Area = \frac{1}{2} (1 - \ln(2))$$ Como $1 = \ln(e)$: $$Area = \frac{1}{2} (\ln(e) - \ln(2)) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{e}{2}\right)$$ Queda demostrado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{e}{2}\right)}$$