Cálculo de límites: Indeterminaciones y Regla de L'Hôpital

**a) [1] $\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\text{sen}(x)} \right)$** Al evaluar el límite directamente obtenemos una indeterminación del tipo $\infty - \infty$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\text{sen}(x)} = +\infty$$ Para resolverla, restamos las fracciones buscando un denominador común: $$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\text{sen}(x)} \right) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\text{sen}(x) - x}{x \cdot \text{sen}(x)}$$ Ahora, al evaluar en $x = 0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, lo que nos permite aplicar la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Cuando tengas $\infty - \infty$ con fracciones, el primer paso suele ser realizar la operación para obtener un solo cociente y poder aplicar L'Hôpital.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $(\text{sen}(x) - x)' = \cos(x) - 1$ - Denominador: $(x \cdot \text{sen}(x))' = 1 \cdot \text{sen}(x) + x \cdot \cos(x)$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\text{sen}(x) - x}{x \cdot \text{sen}(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(x) - 1}{\text{sen}(x) + x \cos(x)}$$ Si volvemos a evaluar en $x = 0$: $$\frac{\cos(0) - 1}{\text{sen}(0) + 0 \cdot \cos(0)} = \frac{1 - 1}{0 + 0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos nuevamente: - Numerador: $(\cos(x) - 1)' = -\text{sen}(x)$ - Denominador: $(\text{sen}(x) + x \cos(x))' = \cos(x) + (1 \cdot \cos(x) + x \cdot (-\text{sen}(x))) = 2\cos(x) - x \text{sen}(x)$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos(x) - 1}{\text{sen}(x) + x \cos(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\text{sen}(x)}{2\cos(x) - x \text{sen}(x)}$$ Evaluamos ahora el límite: $$\frac{-\text{sen}(0)}{2\cos(0) - 0 \cdot \text{sen}(0)} = \frac{0}{2 \cdot 1 - 0} = \frac{0}{2} = 0$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{0}$$

**b) [0,5] $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{9x^2 + 5}$** Estamos ante una indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Para resolverla, analizamos el grado dominante del numerador y del denominador: - En el numerador, el término de mayor grado es $\sqrt{2x^2}$, que se comporta como $x^1$. - En el denominador, el término de mayor grado es $9x^2$, que es de grado 2. Como el grado del denominador ($2$) es mayor que el grado del numerador ($1$), el límite tiende a cero. Formalmente, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia del denominador ($x^2$): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{x^2}}{\frac{9x^2 + 5}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{2x^2}{x^4} + \frac{1}{x^4}}}{9 + \frac{5}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{\frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^4}}}{9 + \frac{5}{x^2}}$$ Al tender $x$ a infinito, los términos $\frac{2}{x^2}$, $\frac{1}{x^4}$ y $\frac{5}{x^2}$ tienden a $0$: $$\frac{\sqrt{0+0}}{9+0} = \frac{0}{9} = 0$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{0}$$

**c) [1] $\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1)$** Evaluamos el límite: - $x \to +\infty$ - $e^{1/x} - 1 \to e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$ Obtenemos una indeterminación de tipo $\infty \cdot 0$. Para aplicar L'Hôpital, reescribimos la expresión como un cociente: $$\lim_{x \to +\infty} x(e^{1/x} - 1) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{1/x} - 1}{1/x}$$ Ahora tenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$. 💡 **Tip:** Para transformar $A \cdot B$ en un cociente, puedes usar $A \cdot B = \frac{B}{1/A}$ o $A \cdot B = \frac{A}{1/B}$.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador respecto a $x$: - Numerador: $(e^{1/x} - 1)' = e^{1/x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)$ - Denominador: $\left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2}$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{1/x} - 1}{1/x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{1/x} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right)}{-\frac{1}{x^2}}$$ Simplificamos los términos $-\frac{1}{x^2}$ que aparecen en el numerador y denominador: $$\lim_{x \to +\infty} e^{1/x}$$ Finalmente, evaluamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} e^{1/x} = e^{1/\infty} = e^0 = 1$$ ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{1}$$