Propiedades de matrices nulas y potencias

**a) [0,75] Demuestre que $(A + I)^2 = 2A + I$, y que $(A + I)^3 = 3A + I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.** Para calcular $(A+I)^2$, realizamos el producto de la matriz por sí misma recordando que la matriz identidad $I$ conmuta con cualquier matriz ($AI = IA = A$): $$(A+I)^2 = (A+I)(A+I) = A^2 + AI + IA + I^2$$ Sustituimos las propiedades conocidas: 1. $A^2 = O$ (dado en el enunciado). 2. $AI = A$ y $IA = A$. 3. $I^2 = I$. $$(A+I)^2 = O + A + A + I = 2A + I$$ 💡 **Tip:** En general, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$. Solo podemos decir que es $A^2 + 2AB + B^2$ si las matrices conmutan ($AB=BA$). Como la identidad siempre conmuta, aquí es válido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A+I)^2 = 2A + I}$$

Para calcular $(A+I)^3$, utilizamos el resultado obtenido en el paso anterior: $$(A+I)^3 = (A+I)^2(A+I)$$ Sustituimos $(A+I)^2 = 2A + I$: $$(A+I)^3 = (2A+I)(A+I)$$ Desarrollamos el producto distributivo: $$(A+I)^3 = (2A)(A) + (2A)(I) + (I)(A) + I^2$$ $$(A+I)^3 = 2A^2 + 2A + A + I$$ Como $A^2 = O$: $$(A+I)^3 = 2O + 3A + I = 3A + I$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(A+I)^3 = 3A + I}$$

**b) [0,75] Demuestre que la matriz $I - A$ es inversa de la matriz $I + A$.** Para que $I-A$ sea la inversa de $I+A$, debe cumplirse que su producto sea la matriz identidad, es decir: $(I+A)(I-A) = I$ y $(I-A)(I+A) = I$. Calculamos el primer producto: $$(I+A)(I-A) = I^2 - IA + AI - A^2$$ $$(I+A)(I-A) = I - A + A - O = I$$ Calculamos el segundo producto (aunque al ser matrices que conmutan por ser polinomios en $A$, es redundante): $$(I-A)(I+A) = I^2 + IA - AI - A^2 = I + A - A - O = I$$ Como el producto en ambos órdenes da la identidad, $I-A$ es la inversa de $I+A$. 💡 **Tip:** Una matriz $B$ es la inversa de $A$ si y solo si $A \cdot B = B \cdot A = I$. Aquí hemos comprobado que $(I+A)^{-1} = I-A$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(I+A)^{-1} = I - A}$$

**c) [1] Resuelva la ecuación matricial $X + AX = A$ expresando $X$ en función de $A$.** Primero, sacamos factor común la matriz $X$ por la derecha en el primer miembro: $$X + AX = A \implies (I + A)X = A$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la matriz inversa de $(I+A)$, que según el apartado anterior es $(I-A)$: $$(I+A)^{-1}(I+A)X = (I+A)^{-1}A$$ $$IX = (I-A)A$$ $$X = (I-A)A$$ Ahora simplificamos la expresión: $$X = IA - A^2$$ $$X = A - O = A$$ 💡 **Tip:** Al sacar factor común $X$ en $X+AX$, recuerda que $X = I \cdot X$, por lo que queda $(I+A)X$. Es un error común olvidar la matriz identidad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = A}$$