Discusión y resolución de un sistema con parámetro k

**a) [1] Discuta el sistema en función del parámetro $k$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & k \\ 1 & k & 3 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & k & 2 \\ 1 & k & 3 & 0 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando el rango de ambas matrices según el valor del parámetro $k$. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$. Si además es igual al número de incógnitas, es determinado (SCD); si es menor, es indeterminado (SCI).

Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & k \\ 1 & k & 3 \end{vmatrix} = [ (1 \cdot 2 \cdot 3) + (1 \cdot k \cdot 1) + (2 \cdot k \cdot 1) ] - [ (1 \cdot 2 \cdot 1) + (k \cdot k \cdot 1) + (3 \cdot 2 \cdot 1) ]$$ $$|A| = (6 + k + 2k) - (2 + k^2 + 6) = 3k + 6 - k^2 - 8 = -k^2 + 3k - 2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$-k^2 + 3k - 2 = 0 \implies k^2 - 3k + 2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da los valores: **$k = 1$** y **$k = 2$**.

Analizamos el rango según los valores de $k$ obtenidos: **Caso 1: $k \neq 1$ y $k \neq 2$** Si $k$ no es ninguno de esos valores, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rang}(A) = 3$. Como el rango de la ampliada no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Como el número de incógnitas es 3: - **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $k = 1$** $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Tomamos un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 2$. Analizamos $A^*$ añadiendo la columna de términos independientes al menor anterior: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = (0+2+6) - (1+6+0) = 8-7 = 1 \neq 0$$ Como este determinante de orden 3 es distinto de 0, $\text{rang}(A^*) = 3$. Como $2 \neq 3$: - **Sistema Incompatible (SI)**. **Caso 3: $k = 2$** $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right)$. Observamos que la segunda fila es el doble de la primera ($F_2 = 2F_1$). El rango de $A$ y de $A^*$ será 2 (el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3-2=1 \neq 0$ garantiza rango 2). Como $2 < 3$ (incógnitas): - **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} k \in \mathbb{R} \setminus \{1, 2\}: \text{SCD} \\ k = 1: \text{SI} \\ k = 2: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) [0,5] Calcule su solución en el caso en el que sea compatible indeterminado.** Como hemos visto, para $k=2$ el sistema es SCI. Usamos las ecuaciones 1 y 3 (ya que la 2 es proporcional a la 1): $$\begin{cases} x+y+z = 1 \\ x+2y+3z = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, necesitamos un parámetro. Sea **$z = \lambda$** ($ \lambda \in \mathbb{R}$): $$\begin{cases} x+y = 1 - \lambda \\ x+2y = -3\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda ($E_2 - E_1$): $$(x+2y) - (x+y) = -3\lambda - (1-\lambda) \implies y = -3\lambda - 1 + \lambda \implies y = -2\lambda - 1$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + (-2\lambda - 1) = 1 - \lambda \implies x = 1 - \lambda + 2\lambda + 1 \implies x = \lambda + 2$$ ✅ **Resultado (Solución SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = (2+\lambda, -1-2\lambda, \lambda), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) [1] Calcule su solución (expresada en función de $k$) para cualquier valor de $k$ para el que el sistema sea compatible determinado.** Usaremos la **Regla de Cramer**. Sabemos que el determinante de la matriz es $|A| = -k^2 + 3k - 2$. Para simplificar, podemos factorizarlo: $|A| = -(k-1)(k-2)$. 💡 **Tip:** Recuerda que $x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$, donde $A_i$ es la matriz $A$ sustituyendo la columna $i$ por los términos independientes. Calculamos los determinantes de las incógnitas: $|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & k \\ 0 & k & 3 \end{vmatrix} = (6 + 0 + 2k) - (0 + k^2 + 6) = 2k - k^2 = k(2-k)$ $$x = \frac{k(2-k)}{-(k-1)(k-2)} = \frac{-k(k-2)}{-(k-1)(k-2)} = \frac{k}{k-1}$$ $|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & k \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (6 + k + 0) - (2 + 0 + 6) = k-2$ $$y = \frac{k-2}{-(k-1)(k-2)} = \frac{1}{-(k-1)} = -\frac{1}{k-1}$$ $|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & k & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \text{(pues } R_2 = 2R_1 \text{)}$$ $$z = \frac{0}{|A|} = 0$$ ✅ **Resultado (Solución general):** $$\boxed{x = \frac{k}{k-1}, \quad y = -\frac{1}{k-1}, \quad z = 0}$$