Probabilidad de estudiantes STEM por género

Para resolver este problema de probabilidad, lo primero que haremos será definir los sucesos y organizar la información en un árbol de probabilidad. Definimos los sucesos: - $M$: El estudiante elegido es **mujer**. - $H$: El estudiante elegido es **hombre**. - $S$: El estudiante elegido estudia una carrera **STEM**. - $\bar{S}$: El estudiante elegido **no** estudia una carrera STEM. Datos del enunciado: - $P(M) = 0.55$ - $P(H) = 0.45$ - $P(S|M) = 0.13 \implies P(\bar{S}|M) = 1 - 0.13 = 0.87$ - $P(S|H) = 0.37 \implies P(\bar{S}|H) = 1 - 0.37 = 0.63$

**(a) [0.75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante elegido estudie STEM?** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La probabilidad de que un estudiante estudie STEM se compone de la probabilidad de ser mujer y estudiar STEM más la probabilidad de ser hombre y estudiar STEM: $$P(S) = P(M) \cdot P(S|M) + P(H) \cdot P(S|H)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el árbol: $$P(S) = (0.55 \cdot 0.13) + (0.45 \cdot 0.37)$$ $$P(S) = 0.0715 + 0.1665 = 0.238$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llegan al suceso final (STEM) nos da la probabilidad total de dicho suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0.238}$$ (Es decir, un **23.8%** de los estudiantes estudian una carrera STEM).

**(b) [1 punto] Sabiendo que el estudiante elegido estudia STEM, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?** Se nos pide una probabilidad condicionada: $P(M|S)$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|S) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)} = \frac{P(M) \cdot P(S|M)}{P(S)}$$ Usamos los datos ya calculados: - $P(M \cap S) = 0.0715$ - $P(S) = 0.238$ $$P(M|S) = \frac{0.0715}{0.238} \approx 0.3004$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condición, pasando de conocer la probabilidad de estudiar STEM siendo mujer a la probabilidad de ser mujer sabiendo que estudia STEM. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|S) \approx 0.3004}$$ (Aproximadamente un **30.04%**).

**(c) [0.75 puntos] Sabiendo que el estudiante elegido NO estudia STEM, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?** Se nos pide $P(M|\bar{S})$. Aplicamos de nuevo la definición de probabilidad condicionada: $$P(M|\bar{S}) = \frac{P(M \cap \bar{S})}{P(\bar{S})}$$ Calculamos primero los componentes: 1. $P(M \cap \bar{S}) = P(M) \cdot P(\bar{S}|M) = 0.55 \cdot 0.87 = 0.4785$ 2. $P(\bar{S})$ es el suceso contrario a estudiar STEM: $P(\bar{S}) = 1 - P(S) = 1 - 0.238 = 0.762$ Sustituimos en la fórmula: $$P(M|\bar{S}) = \frac{0.4785}{0.762} \approx 0.62795$$ Redondeando a cuatro decimales: $$P(M|\bar{S}) \approx 0.6280$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica que $P(S) + P(\bar{S}) = 1$. Aquí, $0.238 + 0.762 = 1.000$, lo cual es correcto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|\bar{S}) \approx 0.6280}$$