Probabilidad de tuberculosis y diagnóstico mediante pruebas

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos que intervienen: - $T$: La persona tiene tuberculosis. - $\bar{T}$: La persona no tiene tuberculosis (está sana). - $+$: El resultado de la prueba es positivo. - $-$: El resultado de la prueba es negativo. Extraemos los datos proporcionados por el enunciado: - Probabilidad de tener la enfermedad: $P(T) = 0.0005$. - Por lo tanto, la probabilidad de estar sano es: $P(\bar{T}) = 1 - 0.0005 = 0.9995$. - Probabilidad de positivo dado que tiene la enfermedad (sensibilidad): $P(+|T) = 99\% = 0.99$. - Probabilidad de negativo dado que no tiene la enfermedad (especificidad): $P(-|\bar{T}) = 99\% = 0.99$. 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad condicionada, siempre es útil identificar la probabilidad a priori (prevalencia de la enfermedad) y las verosimilitudes (fiabilidad del test).

Utilizamos un árbol de probabilidad para visualizar todos los escenarios posibles y sus probabilidades asociadas:

**(a) [1.25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el test dé positivo si la persona no tiene la enfermedad?** El enunciado nos pregunta por la probabilidad de que la prueba dé positivo condicionada a que la persona esté sana, es decir, $P(+|\bar{T})$. Sabemos que la probabilidad de que dé negativo estando sano es del $99\%$: $$P(-|\bar{T}) = 0.99$$ Como los eventos positivo ($+$) y negativo ($-$) son complementarios bajo la misma condición de salud, tenemos: $$P(+|\bar{T}) = 1 - P(-|\bar{T}) = 1 - 0.99 = 0.01$$ 💡 **Tip:** Esta probabilidad se conoce técnicamente como la tasa de falsos positivos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(+|\bar{T}) = 0.01 \text{ (o } 1\%\text{)}}$$

**(b) [1.25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de tener tuberculosis si el resultado de la prueba es negativo?** Para hallar $P(T|-)$ necesitaremos aplicar el Teorema de Bayes. El primer paso es calcular la probabilidad total de que el test resulte negativo, $P(-)$, usando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(-) = P(T) \cdot P(-|T) + P(\bar{T}) \cdot P(-|\bar{T})$$ Calculamos los valores necesarios: - $P(T) = 0.0005$ - $P(-|T) = 1 - P(+|T) = 1 - 0.99 = 0.01$ - $P(\bar{T}) = 0.9995$ - $P(-|\bar{T}) = 0.99$ Sustituimos: $$P(-) = (0.0005 \cdot 0.01) + (0.9995 \cdot 0.99)$$ $$P(-) = 0.000005 + 0.989505 = 0.98951$$ 💡 **Tip:** Fíjate que casi toda la probabilidad de un negativo proviene de la gente sana, debido a que la prevalencia de la enfermedad es muy baja.

Ahora aplicamos el **Teorema de Bayes** para obtener la probabilidad de estar enfermo habiendo obtenido un resultado negativo: $$P(T|-) = \frac{P(T \cap -)}{P(-)} = \frac{P(T) \cdot P(-|T)}{P(-)}$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: $$P(T|-) = \frac{0.0005 \cdot 0.01}{0.98951} = \frac{0.000005}{0.98951}$$ Realizamos la división: $$P(T|-) \approx 0.000005053$$ Para expresarlo de forma más clara, podemos redondear o usar notación científica: $$P(T|-) \approx 5.053 \cdot 10^{-6}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T|-) \approx 0.00000505}$$