Estudio de función logarítmica e integral definida

**(a) [1 punto] Determina el dominio de la función y el comportamiento de la función en los extremos de su dominio.** Para determinar el dominio de $f(x) = \dfrac{\ln(2x)}{x}$, debemos considerar las restricciones de las funciones que la componen: 1. **Logaritmo:** El argumento del logaritmo neperiano debe ser estrictamente positivo: $2x \gt 0 \implies x \gt 0$. 2. **Denominador:** El denominador no puede ser cero: $x \neq 0$. Combinando ambas condiciones, el dominio es el intervalo de los números reales positivos. 💡 **Tip:** El dominio de $\ln(g(x))$ es $\{x \in \mathbb{R} \mid g(x) \gt 0\}$. $$\boxed{\text{Dom}(f) = (0, +\infty)}$$

Analizamos el límite cuando $x$ se acerca a $0$ por la derecha (límite en el extremo abierto del dominio): $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(2x)}{x}$$ En este caso, cuando $x \to 0^+$, el numerador $\ln(2x) \to -\infty$ y el denominador $x \to 0^+$. Por tanto: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(2x)}{x} = \frac{-\infty}{0^+} = -\infty$$ Esto indica que existe una **asíntota vertical** en $x = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty}$$

Analizamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(2x)}{x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(2x)}{x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2x} \cdot 2}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$ Esto indica que existe una **asíntota horizontal** en $y = 0$ cuando $x \to +\infty$. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital es muy útil para resolver indeterminaciones del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ o $\frac{0}{0}$ en funciones con logaritmos y polinomios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$

**(b) [1.5 puntos] Calcula el área comprendida entre $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = \frac{1}{2}$ y $x = 5$.** El área viene dada por la integral definida del valor absoluto de la función en el intervalo $[1/2, 5]$. Primero comprobamos si la función corta al eje de abscisas ($f(x)=0$) en dicho intervalo: $$\frac{\ln(2x)}{x} = 0 \implies \ln(2x) = 0 \implies 2x = e^0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$$ Como el único punto de corte es el extremo inferior del intervalo ($x=1/2$), estudiamos el signo de la función en $(1/2, 5)$. Para cualquier $x \gt 1/2$, se tiene que $2x \gt 1$, por lo que $\ln(2x) \gt 0$. La función es **positiva** en todo el intervalo. Por tanto, el área $A$ es: $$A = \int_{1/2}^{5} \frac{\ln(2x)}{x} \, dx$$ 💡 **Tip:** Si la función no cambia de signo en el intervalo, el área es simplemente la integral definida (o su valor absoluto si fuera negativa).

Para resolver $\int \frac{\ln(2x)}{x} \, dx$, observamos que la derivada de $\ln(2x)$ es $\frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$, que está multiplicando en la integral. Se trata de una integral casi inmediata del tipo $\int f(x)^n f'(x) \, dx = \frac{f(x)^{n+1}}{n+1}$: $$\int \ln(2x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{(\ln(2x))^2}{2} + C$$ O bien, por cambio de variable: Sea $u = \ln(2x) \implies du = \frac{1}{x} dx$. $$\int u \, du = \frac{u^2}{2} = \frac{\ln^2(2x)}{2}$$

Aplicamos los límites de integración $x = 1/2$ y $x = 5$ a la primitiva hallada: $$A = \left[ \frac{\ln^2(2x)}{2} \right]_{1/2}^{5} = \frac{\ln^2(2 \cdot 5)}{2} - \frac{\ln^2(2 \cdot 1/2)}{2}$$ Evaluamos: $$A = \frac{\ln^2(10)}{2} - \frac{\ln^2(1)}{2}$$ Como $\ln(1) = 0$: $$A = \frac{(\ln 10)^2}{2} - 0 = \frac{(\ln 10)^2}{2} \text{ unidades}^2$$ Utilizando una aproximación decimal (opcional): $\ln(10) \approx 2.3025$, por lo que $A \approx \frac{5.3019}{2} \approx 2.65$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \dfrac{\ln^2(10)}{2} \text{ u}^2}$$