Existencia de raíces y estudio de una función de altitud

**(a) [1.5 puntos] Demuestra que existe al menos un punto $x$ donde la altitud es 0 dentro del tramo considerado. Indicación: se puede hacer uso del teorema de Bolzano.** Para aplicar el **teorema de Bolzano**, debemos verificar dos condiciones sobre la función $A(x)$ en el intervalo $[0, 500]$: 1. **Continuidad:** La función $A(x) = -0.0001x^3 + 0.05x^2 - 4x + 200$ es una función polinómica de tercer grado. Los polinomios son continuos en todo su dominio, por lo tanto, $A(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 500]$. 2. **Cambio de signo en los extremos:** Debemos calcular los valores de la función en los extremos del tramo, $x=0$ y $x=500$, y comprobar que tienen signos opuestos. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano garantiza que si $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Calculamos el valor de la altitud en el inicio ($x=0$): $$A(0) = -0.0001(0)^3 + 0.05(0)^2 - 4(0) + 200 = 200 \text{ m}.$$ Como $A(0) = 200 \gt 0$, el terreno comienza por encima del nivel del mar. Calculamos el valor de la altitud al final del tramo ($x=500$): $$A(500) = -0.0001(500)^3 + 0.05(500)^2 - 4(500) + 200$$ $$A(500) = -0.0001(125,000,000) + 0.05(250,000) - 2000 + 200$$ $$A(500) = -12,500 + 12,500 - 2000 + 200 = -1,800 \text{ m}.$$ Como $A(500) = -1,800 \lt 0$, el terreno termina por debajo del nivel del mar. Dado que la función es continua y cambia de signo ($A(0) \gt 0$ y $A(500) \lt 0$), por el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un punto $x \in (0, 500)$ tal que $A(x) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe al menos una raíz en } (0, 500)}$$

**(b) [1 punto] Estudia los puntos críticos de la función y su crecimiento/decrecimiento para concluir si este punto es único o no. ¿Lo es? Justifica la respuesta.** Para estudiar la unicidad, analizamos la monotonía de la función mediante su derivada: $$A'(x) = -0.0003x^2 + 0.1x - 4.$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-0.0003x^2 + 0.1x - 4 = 0.$$ Usamos la fórmula cuadrática $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$: $$x = \frac{-0.1 \pm \sqrt{(0.1)^2 - 4(-0.0003)(-4)}}{2(-0.0003)} = \frac{-0.1 \pm \sqrt{0.01 - 0.0048}}{-0.0006}$$ $$x = \frac{-0.1 \pm \sqrt{0.0052}}{-0.0006} \approx \frac{-0.1 \pm 0.07211}{-0.0006}.$$ Obtenemos los dos puntos críticos: - $x_1 \approx \frac{-0.02789}{-0.0006} \approx 46.48$$ - $x_2 \approx \frac{-0.17211}{-0.0006} \approx 286.85$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos donde $f'(x)=0$ dividen el dominio en intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Analizamos el signo de $A'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos dentro del dominio $[0, 500]$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & [0, 46.48) & 46.48 & (46.48, 286.85) & 286.85 & (286.85, 500] \\\hline A'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ A(x) & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \text{máx} & \searrow \end{array}$$ - En $[0, 46.48)$, la función **decrece**. - En $(46.48, 286.85)$, la función **crece**. - En $(286.85, 500]$, la función **decrece**. Calculamos los valores aproximados en los extremos relativos para ver si el terreno llega a cruzar el cero antes del tramo final: - $A(46.48) \approx 111.91 \gt 0$. - $A(286.85) \approx 803.05 \gt 0$.

Para justificar si el punto es único, razonamos sobre el comportamiento de la función: 1. En el intervalo $[0, 286.85]$, el valor mínimo absoluto es $A(46.48) \approx 111.91$. Como este valor es mayor que cero, **la función nunca toca el eje $x$ en este tramo**. 2. En el intervalo $[286.85, 500]$, la función es **estrictamente decreciente**. Como pasa de $A(286.85) \approx 803.05$ (positivo) a $A(500) = -1,800$ (negativo) de forma estrictamente decreciente, solo puede cruzar el eje $x$ **exactamente una vez**. Por tanto, el punto donde la altitud es 0 es único. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto es único porque } A(x) \gt 0 \text{ en el primer tramo y es estrictamente decreciente en el tramo donde cruza el cero.}}$$