Inversa de una matriz y ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] Sabiendo que $AB + I = A$, calcula la inversa de $A$ en función de $I$ y $B$.** Partimos de la ecuación matricial dada: $$AB + I = A$$ Para hallar $A^{-1}$, debemos manipular la expresión para llegar a una forma del tipo $A \cdot (\dots) = I$ o $(\dots) \cdot A = I$, ya que por definición $A \cdot A^{-1} = I$. 1. Restamos la matriz $AB$ en ambos miembros de la igualdad: $$I = A - AB$$ 2. Factorizamos la matriz $A$ por la izquierda en el lado derecho de la ecuación. Recuerda que $A = A \cdot I$: $$I = A(I - B)$$ Como el enunciado afirma que $A$ es invertible, podemos asegurar que la expresión que multiplica a $A$ para dar la identidad es precisamente su inversa. $$\boxed{A^{-1} = I - B}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los factores es fundamental ya que el producto no es conmutativo. Aquí hemos factorizado $A$ por la izquierda porque aparece a la izquierda en ambos términos ($A$ y $AB$).

**(b) [1.5 puntos] Sabiendo que $A$ y su inversa $A^{-1}$ son tales que $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ y $A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, calcula la matriz $B$ que satisface la igualdad $AB + I = A$. ¿Es $B$ invertible? Justifica la respuesta.** Utilizamos la relación obtenida en el apartado anterior: $A^{-1} = I - B$. Despejamos $B$ sumando $B$ y restando $A^{-1}$ en ambos lados: $$B = I - A^{-1}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Para facilitar la resta, introducimos el escalar $1/2$ o expresamos $I$ con denominador común: $$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1/2 & -1/2 & 1/2 \\ -3/2 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta elemento a elemento: $$B = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-1 & 0-0 \\ 0-(-1/2) & 1-(-1/2) & 0-1/2 \\ 0-(-3/2) & 0-(-1/2) & 1-1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1/2 & 3/2 & -1/2 \\ 3/2 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ O de forma más elegante, sacando factor común $1/2$: ✅ **Resultado (matriz B):** $$\boxed{B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para justificar si $B$ es invertible, calculamos su determinante $|B|$. Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|B| \neq 0$). Calculamos el determinante de $B = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$: Recuerda que para una matriz $3 \times 3$, $|k \cdot M| = k^3 \cdot |M|$. $$|B| = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Como la primera fila tiene dos ceros, desarrollamos por los elementos de esa fila: $$|B| = \frac{1}{8} \left[ 0 - (-2) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 0 \right]$$ $$|B| = \frac{1}{8} \left[ 2 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) \right] = \frac{1}{8} \left[ 2 \cdot (1 + 3) \right]$$ $$|B| = \frac{1}{8} \cdot (2 \cdot 4) = \frac{8}{8} = 1$$ Como $|B| = 1 \neq 0$, concluimos que la matriz es invertible. 💡 **Tip:** Si hubieras usado Sarrus directamente sobre la matriz con fracciones, el resultado sería el mismo, pero extraer el escalar simplifica mucho los cálculos y evita errores con las fracciones. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Sí, } B \text{ es invertible porque } |B| = 1 \neq 0}$$