Interpretación y discusión de un sistema de costes

**(a) [0.5 puntos] Describe qué significa la ecuación del producto 1.** La ecuación $2x + y - z = 40$ representa la relación entre las cantidades de materias primas utilizadas para fabricar el Producto 1 y su coste total final. Específicamente: - $x, y, z$ son los precios unitarios (€/kg) de la madera, el hierro y el plástico, respectivamente. - Los coeficientes indican las cantidades: se utilizan **2 kg de madera** ($2x$) y **1 kg de hierro** ($1y$). - El término $-z$ sugiere que en el proceso de fabricación se genera o se recupera **1 kg de plástico** (cuyo valor se resta al coste total), o simplemente representa una restricción técnica de balance de materiales. - El valor **40 €** es el coste neto total de las materias primas para fabricar una unidad del Producto 1. 💡 **Tip:** En problemas de optimización o costes, los coeficientes de las variables suelen representar unidades físicas (kg, horas, litros) y el término independiente el resultado económico total.

**(b) [2 puntos] Con los datos de los que disponemos, ¿es posible calcular el precio del kg de cada materia prima? Es decir, ¿calcular $x, y, z$? Justifica tu respuesta.** Para saber si es posible calcular $x, y, z$, debemos estudiar si el sistema de ecuaciones tiene solución única. Escribimos el sistema en forma matricial: $$\begin{cases} 2x + y - z = 40 \\ x - y + 2z = 90 \\ x + 2y = 70 \\ x - y + z = 50 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 40 \\ 1 & -1 & 2 & 90 \\ 1 & 2 & 0 & 70 \\ 1 & -1 & 1 & 50 \end{array}\right)$$ Se trata de un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas. Para que tenga solución única, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, debe cumplirse que $rg(M) = rg(M^*) = 3$ (número de incógnitas).

Calculamos el rango de $M$ (matriz $4 \times 3$). Buscamos un menor de orden 3 que sea distinto de cero utilizando las tres primeras filas: $$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\Delta_1 = (0 + 2 - 2) - (1 + 8 + 0) = 0 - 9 = -9$$ Como $\Delta_1 \neq 0$, el rango de la matriz de coeficientes es: $$\boxed{rg(M) = 3}$$ 💡 **Tip:** El rango es el número de filas o columnas linealmente independientes. Si encontramos un determinante de $3 \times 3$ no nulo, el rango es al menos 3. Como solo hay 3 columnas, no puede ser mayor.

La matriz $M^*$ es de orden $4 \times 4$. Para determinar su rango, calculamos su determinante $|M^*|$. Si $|M^*| = 0$, el rango será 3 (ya que hemos encontrado un menor de orden 3 no nulo dentro). $$|M^*| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 & 40 \\ 1 & -1 & 2 & 90 \\ 1 & 2 & 0 & 70 \\ 1 & -1 & 1 & 50 \end{vmatrix}$$ Para facilitar el cálculo, hacemos ceros en la tercera columna. Realizamos la operación $F_2 = F_2 - 2F_4$ y $F_1 = F_1 + F_4$: $$|M^*| = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 & 90 \\ -1 & 1 & 0 & -10 \\ 1 & 2 & 0 & 70 \\ 1 & -1 & 1 & 50 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna (que solo tiene un elemento no nulo en $a_{43}$): $$|M^*| = (-1)^{4+3} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 0 & 90 \\ -1 & 1 & -10 \\ 1 & 2 & 70 \end{vmatrix} = -1 \cdot [ (210 + 0 - 180) - (90 - 60 + 0) ]$$ $$|M^*| = -1 \cdot [ 30 - 30 ] = 0$$ Como el determinante de la matriz ampliada es 0, el rango no es 4. Dado que ya contenía un menor de orden 3 no nulo: $$\boxed{rg(M^*) = 3}$$

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** comparando los rangos obtenidos y el número de incógnitas ($n=3$): 1. $rg(M) = 3$ 2. $rg(M^*) = 3$ 3. $n = 3$ Al cumplirse que $rg(M) = rg(M^*) = n$, el sistema es **Compatible Determinado**. Esto significa que existe una única solución para los valores de $x$, $y$ y $z$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí es posible calcular el precio de cada materia prima, ya que el sistema tiene solución única.}}$$ *(Nota adicional: Resolviendo el sistema se obtiene que el kg de madera cuesta 30 €, el de hierro 20 € y el de plástico 40 €, valores que satisfacen las 4 ecuaciones)*