Geometría en el espacio 2025 Baleares
Geometría en el espacio: Trayectorias y profundidades marinas
Problema A1. — Un grupo de investigación de la Escuela Politécnica Superior de la UIB participó en diciembre de 2023 en un estudio de las profundidades marinas. El equipo desplegó diversas tecnologías marinas avanzadas con la finalidad de explorar y recoger datos de hábitats marinos a una profundidad de 350 m. Por este motivo, una embarcación con el equipo de investigación se dirigió hacia unas coordenadas marinas específicas.
a) [1 punto] Una vez llegados al punto deseado de la superficie del mar, llamémoslo $O$, sumergieron un dispositivo verticalmente 315 m (véase la figura). A continuación, este se desplazó 37 m sobre la recta
$$\begin{cases} x = 0, \\ 35y + 12z = -3780, \\ \end{cases}$$
hasta alcanzar la profundidad deseada. Calcula el punto donde se situó el dispositivo después de este movimiento considerando el punto $O$ el centro de referencia (el origen de coordenadas).
b) [0.5 puntos] Si queremos mantener la profundidad deseada (350 m), ¿sobre qué plano se debe desplazar el dispositivo?
c) [1 punto] Se deja que el dispositivo se desplace libremente sobre el plano calculado en el apartado b) y se va monitorizando desde el barco. Con un GPS se ha detectado, desde el barco, la presencia de un objeto (posiblemente un pez) que se desplaza en línea recta sobre la trayectoria
$$\begin{cases} x = 5 + 4\lambda, \\ y = 10 + \lambda, \\ z = -380 + 10\lambda. \\ \end{cases}$$
Si dicho objeto no cambia su trayectoria, ¿podría chocar contra el dispositivo? En caso afirmativo, ¿en qué punto podría ocurrir la colisión?
Paso 1
Determinación del punto tras la inmersión vertical
**a) [1 punto] Una vez llegados al punto deseado de la superficie del mar, llamémoslo $O$, sumergieron un dispositivo verticalmente 315 m (véase la figura). A continuación, este se desplazó 37 m sobre la recta hasta alcanzar la profundidad deseada. Calcula el punto donde se situó el dispositivo después de este movimiento considerando el punto $O$ el centro de referencia (el origen de coordenadas).**
Establecemos el sistema de referencia con el origen $O$ en $(0, 0, 0)$. El eje $Z$ representa la altura, por lo que la profundidad se indicará con valores negativos.
Tras la inmersión vertical de 315 m, el dispositivo se encuentra en el punto:
$$P_1 = (0, 0, -315)$$
💡 **Tip:** En problemas de navegación o profundidad, el origen suele ser la superficie. Bajar $d$ metros implica restar esa cantidad a la coordenada $z$.
Paso 2
Cálculo del punto final sobre la recta
El dispositivo se desplaza ahora sobre la recta $r$ definida por:
$$r: \begin{cases} x = 0 \\ 35y + 12z = -3780 \end{cases}$$
Sabemos que el dispositivo alcanza la **profundidad deseada de 350 m**. Esto significa que en el punto final $P_2$, la coordenada $z$ debe ser $-350$.
Sustituimos $z = -350$ en la ecuación de la recta para hallar la coordenada $y$:
$$35y + 12(-350) = -3780$$
$$35y - 4200 = -3780$$
$$35y = 4200 - 3780$$
$$35y = 420 \implies y = \frac{420}{35} = 12$$
Por tanto, el punto final es $P_2 = (0, 12, -350)$.
**Verificación de la distancia desplazada:**
El enunciado indica que se desplaza 37 m. Calculamos la distancia entre $P_1(0, 0, -315)$ y $P_2(0, 12, -350)$:
$$d(P_1, P_2) = \sqrt{(0-0)^2 + (12-0)^2 + (-350 - (-315))^2}$$
$$d(P_1, P_2) = \sqrt{0^2 + 12^2 + (-35)^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = 37\text{ m}$$
La distancia coincide con el enunciado.
✅ **Resultado (punto final):**
$$\boxed{P_2 = (0, 12, -350)}$$
Paso 3
Determinación del plano de profundidad constante
**b) [0.5 puntos] Si queremos mantener la profundidad deseada (350 m), ¿sobre qué plano se debe desplazar el dispositivo?**
Mantener una profundidad constante de 350 m implica que la coordenada vertical $z$ no debe variar y debe ser igual a $-350$.
En geometría analítica, el lugar geométrico de todos los puntos que tienen una coordenada $z$ constante es un plano paralelo al plano $XY$ ($z=0$).
La ecuación del plano es:
$$z = -350$$
💡 **Tip:** Un plano horizontal siempre tiene la forma $z = k$. Si es vertical y paralelo al plano $YZ$, sería $x = k$.
✅ **Resultado (plano):**
$$\boxed{\pi: z = -350}$$
Paso 4
Intersección de la trayectoria del objeto con el plano
**c) [1 punto] Se deja que el dispositivo se desplace libremente sobre el plano calculado en el apartado b) y se va monitorizando desde el barco. Con un GPS se ha detectado, desde el barco, la presencia de un objeto (posiblemente un pez) que se desplaza en línea recta sobre la trayectoria... ¿podría chocar contra el dispositivo?**
El dispositivo está en el plano $\pi: z = -350$. El objeto sigue la trayectoria rectilínea $s$:
$$s: \begin{cases} x = 5 + 4\lambda \\ y = 10 + \lambda \\ z = -380 + 10\lambda \end{cases}$$
Para que ocurra una colisión, el objeto debe pasar por la profundidad donde se encuentra el dispositivo ($z = -350$). Buscamos el punto de intersección entre la recta $s$ y el plano $\pi$.
Sustituimos la componente $z$ de la recta en la ecuación del plano:
$$-380 + 10\lambda = -350$$
$$10\lambda = -350 + 380$$
$$10\lambda = 30 \implies \lambda = 3$$
💡 **Tip:** Para hallar la intersección de una recta en paramétricas con un plano, sustituye $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano y despeja el parámetro.
Paso 5
Cálculo del punto de colisión
Como existe un valor de $\lambda$ real, la trayectoria del objeto **sí corta el plano** donde se mueve el dispositivo. Por tanto, existe la posibilidad de colisión.
Calculamos las coordenadas del punto de colisión sustituyendo $\lambda = 3$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $s$:
$$x = 5 + 4(3) = 5 + 12 = 17$$
$$y = 10 + (3) = 13$$
$$z = -380 + 10(3) = -380 + 30 = -350$$
El objeto cruza el plano de operación del dispositivo en el punto $(17, 13, -350)$.
✅ **Resultado (colisión):**
$$\boxed{\text{Sí, en el punto } C(17, 13, -350)}$$