Probabilidad de sucesos y operaciones básicas

**(a) [0.75 puntos] $P(A \cap B)$.** El suceso $A - B$ (A menos B) representa los elementos que están en $A$ pero no en $B$. En términos de probabilidad, esto se expresa como: $$P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$$ Conocemos los valores de $P(A) = 0.75$ y $P(A - B) = 0.3$. Sustituimos en la fórmula para despejar la intersección: $$0.3 = 0.75 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 0.75 - 0.3 = 0.45$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A-B$ es equivalente a $A \cap B'$. Gráficamente, es el conjunto $A$ al que le hemos quitado la zona común con $B$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.45}$$

Para resolver el resto de apartados de forma más visual, calculamos primero $P(B)$ y organizamos todos los datos en una tabla de contingencia. Sabemos que $P(B') = 0.45$, por lo que: $$P(B) = 1 - P(B') = 1 - 0.45 = 0.55$$ Ahora completamos la tabla con los datos obtenidos: - $P(A) = 0.75 \implies P(A') = 0.25$ - $P(B) = 0.55 \implies P(B') = 0.45$ - $P(A \cap B) = 0.45$ - $P(A \cap B') = P(A - B) = 0.30$ $$\begin{array}{c|cc|c} & B & B' & \text{Total} \\ \hline A & 0.45 & 0.30 & 0.75 \\ A' & 0.10 & 0.15 & 0.25 \\ \hline \text{Total} & 0.55 & 0.45 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la suma de las filas y las columnas debe coincidir con los totales marginales y la suma total siempre debe ser 1.

**(b) [0.75 puntos] $P(B - A)$.** De forma análoga al primer apartado, el suceso $B - A$ representa los sucesos elementales de $B$ que no están en $A$. Su probabilidad es: $$P(B - A) = P(B) - P(A \cap B)$$ Utilizando los valores calculados anteriormente: $$P(B) = 0.55$$ $$P(A \cap B) = 0.45$$ Sustituimos: $$P(B - A) = 0.55 - 0.45 = 0.10$$ Nota: Este valor corresponde también a la celda $P(A' \cap B)$ de nuestra tabla. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(B - A) = 0.10}$$

**(c) [1 punto] $P(A' \cap B')$.** Para calcular $P(A' \cap B')$, podemos utilizar las **Leyes de De Morgan**, que establecen que la intersección de los complementarios es el complementario de la unión: $$A' \cap B' = (A \cup B)'$$ Primero calculamos la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0.75 + 0.55 - 0.45 = 0.85$$ Ahora, calculamos el complementario: $$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$$ $$P(A' \cap B') = 1 - 0.85 = 0.15$$ 💡 **Tip:** También podíamos haber leído este resultado directamente de nuestra tabla de contingencia en la intersección de la fila $A'$ y la columna $B'$. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{P(A' \cap B') = 0.15}$$