Probabilidad y Estadística 2025 Baleares
Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en drones
Problema D1. — Una empresa de construcción de drones ha hecho un estudio sobre la vida media de sus productos. Se ha detectado que el 45% de sus productos se estropean antes de los 5 años. De entre estos objetos estropeados, el 40% han sufrido un mal uso por parte de los usuarios, mientras que, de los productos no estropeados, se sabe que el 55% también sufrieron un mal uso por parte de los usuarios.
(a) [0.75 puntos] Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos del estudio, ¿cuál es la probabilidad de obtener un producto que no se haya estropeado antes de los 5 años?
(b) [0.75 puntos] Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos no estropeados antes de los 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho un buen uso de él?
(c) [1 punto] Si se selecciona aleatoriamente un producto del estudio y se sabe que este sufrió un mal uso por parte del usuario, ¿cuál es la probabilidad de que no estuviera estropeado antes de los 5 años?
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**(a) [0.75 puntos] Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos del estudio, ¿cuál es la probabilidad de obtener un producto que no se haya estropeado antes de los 5 años?**
Primero, definimos los sucesos principales para organizar la información:
- $E$: El producto se estropea antes de los 5 años.
- $\bar{E}$: El producto no se estropea antes de los 5 años.
- $M$: El producto ha sufrido un mal uso por parte del usuario.
- $\bar{M}$: El producto ha tenido un buen uso (uso correcto).
Datos del enunciado:
- $P(E) = 0.45 \implies P(\bar{E}) = 1 - 0.45 = 0.55$
- $P(M|E) = 0.40 \implies P(\bar{M}|E) = 1 - 0.40 = 0.60$
- $P(M|\bar{E}) = 0.55 \implies P(\bar{M}|\bar{E}) = 1 - 0.55 = 0.45$
Presentamos el árbol de probabilidad:
Paso 2
Resolución del apartado (a)
Para calcular la probabilidad de que un producto no se haya estropeado antes de los 5 años, simplemente usamos la propiedad del suceso contrario:
$$P(\bar{E}) = 1 - P(E)$$
Sustituyendo el valor dado en el enunciado ($45\%$):
$$P(\bar{E}) = 1 - 0.45 = 0.55$$
💡 **Tip:** Recuerda que en probabilidad, la suma de un suceso y su contrario siempre es 1. $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{E}) = 0.55}$$
(Es decir, un $55\%$ de probabilidad).
Paso 3
Resolución del apartado (b)
**(b) [0.75 puntos] Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos no estropeados antes de los 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho un buen uso de él?**
Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de buen uso ($\bar{M}$) sabiendo que el producto no se ha estropeado ($\bar{E}$).
Esto se denota como $P(\bar{M} | \bar{E})$. Según los datos proporcionados para el grupo de productos no estropeados:
- El $55\%$ sufrió un mal uso ($P(M|\bar{E}) = 0.55$).
- Por tanto, el resto tuvo un buen uso.
$$P(\bar{M} | \bar{E}) = 1 - P(M|\bar{E}) = 1 - 0.55 = 0.45$$
💡 **Tip:** No confundas $P(\bar{M} | \bar{E})$ (condicionada) con $P(\bar{M} \cap \bar{E})$ (intersección). Aquí ya sabemos que estamos dentro del grupo de "no estropeados".
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{M} | \bar{E}) = 0.45}$$
Paso 4
Cálculo de la probabilidad total para el apartado (c)
**(c) [1 punto] Si se selecciona aleatoriamente un producto del estudio y se sabe que este sufrió un mal uso por parte del usuario, ¿cuál es la probabilidad de que no estuviera estropeado antes de los 5 años?**
En este caso, conocemos el efecto (mal uso, $M$) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (que no estuviera estropeado, $\bar{E}$). Usaremos el **Teorema de Bayes**.
Primero, calculamos la probabilidad total de que un producto haya sufrido un mal uso, $P(M)$, sumando las dos ramas del árbol que terminan en $M$:
$$P(M) = P(E \cap M) + P(\bar{E} \cap M)$$
$$P(M) = P(E) \cdot P(M|E) + P(\bar{E}) \cdot P(M|\bar{E})$$
Sustituimos los valores:
$$P(M) = 0.45 \cdot 0.40 + 0.55 \cdot 0.55$$
$$P(M) = 0.18 + 0.3025 = 0.4825$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total nos permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando todas las trayectorias que llevan a él.
Paso 5
Aplicación del Teorema de Bayes
Ahora aplicamos la fórmula de Bayes para hallar $P(\bar{E} | M)$:
$$P(\bar{E} | M) = \frac{P(\bar{E} \cap M)}{P(M)} = \frac{P(\bar{E}) \cdot P(M|\bar{E})}{P(M)}$$
Sustituimos los valores calculados anteriormente:
$$P(\bar{E} | M) = \frac{0.3025}{0.4825}$$
Realizamos la división:
$$P(\bar{E} | M) \approx 0.6269$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes es fundamental cuando queremos "revertir" la condición, pasando de saber $P(B|A)$ a buscar $P(A|B)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{E} | M) = \frac{121}{193} \approx 0.6269}$$