Estudio de la concentración de hidrógeno

**(a) [0.5 puntos] ¿Cuál es la concentración inicial?** La concentración inicial corresponde al instante de tiempo $t = 0$. Para calcularla, simplemente evaluamos la función $H(t)$ en dicho punto: $$H(0) = \frac{20}{1 + e^{-0}}$$ Como cualquier número (distinto de cero) elevado a cero es 1 ($e^0 = 1$): $$H(0) = \frac{20}{1 + 1} = \frac{20}{2} = 10$$ 💡 **Tip:** En problemas de funciones temporales, el valor inicial siempre se obtiene para $t=0$, siempre que este valor esté en el dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{10\%}$$

**(b) [1 punto] Comprueba que la concentración de hidrógeno es siempre creciente.** Para comprobar que la función es siempre creciente, debemos demostrar que su derivada $H'(t)$ es positiva ($H'(t) \gt 0$) para todo $t \ge 0$. Reescribimos la función para derivar de forma más sencilla como una potencia o usamos la regla del cociente. Usaremos la regla del cociente: $$H(t) = \frac{20}{1 + e^{-t}}$$ Derivamos: $$H'(t) = \frac{0 \cdot (1 + e^{-t}) - 20 \cdot (e^{-t} \cdot (-1))}{(1 + e^{-t})^2}$$ $$H'(t) = \frac{20e^{-t}}{(1 + e^{-t})^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{f(t)}$ es $f'(t) \cdot e^{f(t)}$. En este caso, la derivada de $e^{-t}$ es $-e^{-t}$.

Analizamos ahora el signo de la derivada $H'(t) = \frac{20e^{-t}}{(1 + e^{-t})^2}$ para $t \ge 0$: 1. El numerador, $20e^{-t}$, es siempre positivo porque la función exponencial $e^x$ nunca es negativa ni cero, y $20 \gt 0$. 2. El denominador, $(1 + e^{-t})^2$, es un cuadrado perfecto, por lo que siempre es positivo. Como numerador y denominador son positivos: $$H'(t) \gt 0 \quad \forall t \ge 0$$ **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|c} t & (0, +\infty) \\ \hline H'(t) & + \\ \hline H(t) & \nearrow (Creciente) \end{array}$$ Al ser la derivada estrictamente positiva en todo el dominio, la función es siempre creciente. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Puesto que } H'(t) > 0 \text{ para todo } t \ge 0, \text{ la concentración es siempre creciente.}}$$

**(c) [1 punto] Calcula hacia qué valor tiende la concentración a medida que pasa el tiempo.** El valor al que tiende la concentración a medida que pasa el tiempo se obtiene calculando el límite de la función $H(t)$ cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} H(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{20}{1 + e^{-t}}$$ Sabemos que: $$\lim_{t \to +\infty} e^{-t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t} = 0$$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{20}{1 + e^{-t}} = \frac{20}{1 + 0} = 20$$ Esto significa que la función tiene una asíntota horizontal en $y = 20$, indicando que la concentración nunca superará el $20\%$ pero se acercará infinitamente a ese valor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{20\%}$$