Recta tangente y cálculo de área entre curva y recta

**(a) [1 punto] Calcula la recta tangente, $r$, a la curva $y$ por el punto $(2,0)$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente en un punto $(x_0, y_0)$, necesitamos calcular la derivada de la función en ese punto, que nos dará la pendiente $m$. Dada la función $y(x) = x^2 - 4$, calculamos su derivada: $$y'(x) = 2x$$ Evaluamos la derivada en la abscisa del punto de tangencia, $x_0 = 2$, para obtener la pendiente $m$: $$m = y'(2) = 2(2) = 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto: $m = f'(x_0)$.

Utilizamos la forma punto-pendiente de la recta: $y - y_0 = m(x - x_0)$. Sustituimos el punto $(2,0)$ y la pendiente $m = 4$: $$y - 0 = 4(x - 2)$$ $$y = 4x - 8$$ Por tanto, la recta tangente $r$ es: $$\boxed{r: y = 4x - 8}$$

**(b) [1.5 puntos] Calcula el área de la región comprendida entre la curva $y$, el eje $OY$ y la recta $r$.** Primero identificamos los límites de integración y la posición relativa de las funciones: 1. La curva es $y_1 = x^2 - 4$. 2. La recta tangente es $y_2 = 4x - 8$. 3. El eje $OY$ corresponde a la recta vertical $x = 0$. 4. El punto de tangencia es $x = 2$, donde ambas funciones se cortan. Determinamos qué función está por encima en el intervalo $(0, 2)$. Probamos con un valor intermedio, por ejemplo $x = 1$: - Curva: $y_1(1) = 1^2 - 4 = -3$ - Recta: $y_2(1) = 4(1) - 8 = -4$ Como $-3 \gt -4$, la curva $y_1$ está por encima de la recta $r$ en este intervalo. 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ desde $x=a$ hasta $x=b$ se calcula como $A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.

El área $A$ se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones entre $x = 0$ y $x = 2$: $$A = \int_{0}^{2} [(x^2 - 4) - (4x - 8)] dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$A = \int_{0}^{2} (x^2 - 4 - 4x + 8) dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (x^2 - 4x + 4) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2}$$ $$A = \left( \frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 4(2) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 4(0) \right)$$ $$A = \left( \frac{8}{3} - 8 + 8 \right) - 0 = \frac{8}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{8}{3} \text{ unidades}^2 \approx 2.67 \text{ u}^2}$$