Sistema de ecuaciones: Venta de comida en un partido

**(a) [1 punto] ¿Lo podrías informar sabiendo que has hecho un total de $328€$ y has vendido 132 artículos entre fráncfurts, hamburguesas y refrescos? Justifica la respuesta.** Primero, definimos las variables para representar las cantidades desconocidas: - $x$: número de fráncfurts vendidos. - $y$: número de hamburguesas vendidas. - $z$: número de refrescos vendidos. Basándonos en el enunciado, planteamos las ecuaciones: 1. Total de artículos: $x + y + z = 132$ 2. Recaudación total: $3.5x + 4y + 1.5z = 328$ 💡 **Tip:** Siempre define claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones. Asegúrate de que las unidades (en este caso, euros) coincidan en ambos lados de la igualdad.

Para saber si podemos informar las cantidades exactas, debemos determinar si el sistema tiene una solución única (Sistema Compatible Determinado). Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3.5 & 4 & 1.5 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 132 \\ 3.5 & 4 & 1.5 & 328 \end{array}\right)$$ - El rango de $A$ es 2, ya que hay al menos un determinante de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3.5 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 3.5 = 0.5 \neq 0$. - El rango de $A^*$ también es 2, puesto que solo tiene 2 filas. - El número de incógnitas es $n = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt n$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Esto significa que existen infinitas soluciones posibles para los valores de $x, y, z$. Por tanto, con esta información no podemos informar de forma única cuántos artículos de cada tipo se han vendido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, porque el sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)}}$$

**(b) [1.5 puntos] Si, además, sabemos que se han vendido 20 hamburguesas. ¿Cuántos fráncfurts y cuántos refrescos se han vendido?** Al saber que se han vendido 20 hamburguesas, fijamos la variable $y = 20$. Sustituimos este valor en las ecuaciones anteriores: 1. $x + 20 + z = 132 \implies x + z = 112$ 2. $3.5x + 4(20) + 1.5z = 328 \implies 3.5x + 80 + 1.5z = 328 \implies 3.5x + 1.5z = 248$ Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} x + z = 112 \\ 3.5x + 1.5z = 248 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Al fijar una variable, un sistema que era indeterminado puede convertirse en determinado si la nueva información es independiente.

Resolvemos por el método de sustitución. Despejamos $z$ de la primera ecuación: $$z = 112 - x$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$3.5x + 1.5(112 - x) = 248$$ $$3.5x + 168 - 1.5x = 248$$ $$2x = 248 - 168$$ $$2x = 80 \implies x = 40$$ Calculamos ahora el valor de $z$: $$z = 112 - 40 = 72$$ Verificamos que los valores son lógicos (números enteros positivos). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se han vendido 40 fráncfurts y 72 refrescos}}$$