Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**(a) [1.5 puntos] Discute, según el parámetro $k$, el número de soluciones que tiene el sistema.** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, identificando la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} k & 1 & 0 & \big| & 1 \\ 0 & k & 1 & \big| & 0 \\ 3 & -1 & -1 & \big| & 0 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema según el parámetro $k$, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, para lo cual necesitamos calcular el determinante de la matriz $A$.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} k & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [k \cdot k \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 0 \cdot 0 \cdot (-1)] - [3 \cdot k \cdot 0 + (-1) \cdot 1 \cdot k + (-1) \cdot 0 \cdot 1]$$ $$|A| = (-k^2 + 3 + 0) - (0 - k + 0) = -k^2 + k + 3$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$-k^2 + k + 3 = 0 \implies k^2 - k - 3 = 0$$ Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$$ Los valores que anulan el determinante son $k_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ y $k_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema siempre será compatible determinado.

Analizamos el sistema según los valores de $k$: **Caso 1: $k \neq \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de $A$ es 3. Como el número de incógnitas también es 3, por el Teorema de Rouché-Capelli: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n^o \text{ incógnitas} \implies \text{Sistema Compatible Determinado (Solución única).}$$ **Caso 2: $k = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$** En este caso, $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Observamos que el menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 2$. Estudiamos el rango de $A^*$ analizando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-k + 1) = 1 - k$$ Para $k = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$, tenemos que $1 - k \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A^*) = 3$. Como los rangos son distintos: $$\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3 \implies \text{Sistema Incompatible (No tiene solución).}$$ ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} k \neq \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}: \text{Sistema Compatible Determinado} \\ k = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}: \text{Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**(b) [1 punto] Resuelve el sistema cuando sea posible.** El sistema es posible (tiene solución) cuando $k \neq \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$. Lo resolvemos por la **Regla de Cramer** utilizando el determinante $|A| = -k^2 + k + 3$. Calculamos los determinantes auxiliares: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-k + 1) = 1 - k$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} k & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 - 3) = 3$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 0 & k & 0 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 - 3k) = -3k$$ Las soluciones son: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{1 - k}{-k^2 + k + 3}$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{3}{-k^2 + k + 3}$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-3k}{-k^2 + k + 3}$$ ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x = \frac{k - 1}{k^2 - k - 3}, \quad y = \frac{-3}{k^2 - k - 3}, \quad z = \frac{3k}{k^2 - k - 3}}$$