Geometría en el contenedor: prismas, planos y proyecciones

**(a) [1 punto] Elige un vértice del prisma regular y sobre él determina un sistema de referencia cartesiano, el cual tendrá como origen este vértice. Indica, con este sistema de referencia, cuáles son las coordenadas de cada uno de los diferentes vértices del prisma rectangular.** Situamos el origen de coordenadas $O(0,0,0)$ en el vértice inferior izquierdo del frontal del contenedor. Definimos los ejes según las dimensiones dadas: - El **eje $X$** a lo largo de la longitud de $3$ m. - El **eje $Y$** a lo largo de la profundidad de $2$ m. - El **eje $Z$** a lo largo de la altura de $2.5$ m. Los vértices son: - Base inferior: **$V_1(0,0,0)$**, **$V_2(3,0,0)$**, **$V_3(3,2,0)$**, **$V_4(0,2,0)$** - Base superior: **$V_5(0,0,2.5)$**, **$V_6(3,0,2.5)$**, **$V_7(3,2,2.5)$**, **$V_8(0,2,2.5)$** 💡 **Tip:** En un prisma rectangular, las coordenadas se obtienen combinando las longitudes de las aristas $(x, y, z)$ donde cada componente oscila entre $0$ y el valor máximo de la dimensión correspondiente.

**(b) [1 punto] Calcula la longitud de las dos vigas y calcula la ecuación del plano que las contiene. Justifica el proceso.** Las vigas están situadas en las diagonales de las caras de $3 \times 2.5$ metros. Según nuestro sistema de referencia, estas caras corresponden a los planos $y=0$ y $y=2$. Las vigas unen los puntos: - Viga 1: Desde $V_1(0,0,0)$ hasta $V_6(3,0,2.5)$. - Viga 2: Desde $V_4(0,2,0)$ hasta $V_7(3,2,2.5)$. Calculamos la longitud $L$ usando el módulo del vector director de una de ellas: $$\vec{v}_{viga1} = V_6 - V_1 = (3-0, 0-0, 2.5-0) = (3, 0, 2.5)$$ $$L = |\vec{v}_{viga1}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 2.5^2} = \sqrt{9 + 6.25} = \sqrt{15.25}$$ $$L \approx 3.905 \text{ metros}$$ Como el prisma es regular, ambas vigas tienen la misma longitud. ✅ **Resultado (longitud):** $$\boxed{L = \sqrt{15.25} \approx 3.91 \text{ m}}$$

Para hallar el plano $\pi$, necesitamos un punto y dos vectores directores no colineales contenidos en él. Utilizamos: - Punto: $P = V_1(0,0,0)$. - Vector director 1 (dirección de las vigas): $\vec{u} = (3, 0, 2.5)$. - Vector director 2 (vector que une el inicio de ambas vigas): $\vec{v} = \vec{V_1V_4} = (0, 2, 0)$. Calculamos el vector normal $\vec{n}$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 2.5 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 - 5) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(6 - 0) = (-5, 0, 6)$$ La ecuación general del plano es $-5x + 0y + 6z + D = 0$. Como pasa por $(0,0,0)$, entonces $D=0$. $$-5x + 6z = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano que contiene dos rectas paralelas (como son estas vigas) queda determinado por el vector director de las rectas y el vector que une un punto de una con un punto de la otra. ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{5x - 6z = 0}$$

**(c) [0.5 puntos] Una de las dos caras de dimensión $2 \times 2.5$ metros constituye la puerta del contenedor tal como se muestra en la figura. ¿Podríamos introducir una lámina de hierro cuadrada muy fina de dimensiones $2.75 \times 2.75$ metros?** La puerta es un rectángulo de ancho $W = 2$ m y alto $H = 2.5$ m. La lámina es un cuadrado de lado $s = 2.75$ m. Dado que $s > W$ ($2.75 > 2$) y $s > H$ ($2.75 > 2.5$), la lámina no puede entrar de forma paralela a los lados de la puerta. Debemos comprobar si puede entrar **inclinada**. Para que una lámina muy fina (consideramos solo sus dimensiones bidimensionales) entre inclinada un ángulo $\theta$, sus proyecciones horizontal y vertical deben ser menores o iguales que las dimensiones de la puerta: 1. Proyección horizontal: $s \cdot \cos(\theta) \le 2$ 2. Proyección vertical: $s \cdot \sin(\theta) \le 2.5$ Calculamos los límites de $\theta$: - $\cos(\theta) \le \frac{2}{2.75} \approx 0.727 \implies \theta \ge \arccos(0.727) \approx 43.34^\circ$ - $\sin(\theta) \le \frac{2.5}{2.75} \approx 0.909 \implies \theta \le \arcsin(0.909) \approx 65.38^\circ$ Como existe un rango de ángulos (entre $43.34^\circ$ y $65.38^\circ$) donde ambas condiciones se cumplen, **sí es posible introducirla**. Ejemplo: Si la inclinamos $45^\circ$: - Proy. Horiz: $2.75 \cdot \cos(45^\circ) \approx 1.94 \text{ m} < 2 \text{ m}$ - Proy. Vert: $2.75 \cdot \sin(45^\circ) \approx 1.94 \text{ m} < 2.5 \text{ m}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se puede introducir inclinándola un ángulo entre } 43.3^\circ \text{ y } 65.4^\circ}$$