Geometría en el espacio: Recta paralela y plano perpendicular

**4.2.1. Determine la ecuación continua de la recta $s$ que es paralela a $r$ y pasa por el punto $P$.** Para resolver cualquier problema de geometría con rectas, el primer paso es identificar un punto por el que pasa la recta y su vector director. De la ecuación vectorial de $r$: $(x, y, z) = (2,0,3) + \lambda(1,2,3)$, extraemos: - Un punto de la recta: $A_r = (2, 0, 3)$ - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$ El punto dado por el enunciado por donde debe pasar la nueva recta $s$ es: $$P(0, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación vectorial $(x,y,z) = P_0 + \lambda \vec{v}$, el término independiente $P_0$ es un punto de la recta y el vector que multiplica al parámetro $\lambda$ es el vector director.

Como la recta $s$ debe ser paralela a la recta $r$, ambas deben tener la misma dirección. Por tanto, podemos usar el mismo vector director de $r$ para nuestra recta $s$: $$\vec{v}_s = \vec{v}_r = (1, 2, 3)$$ La ecuación continua de una recta que pasa por un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ y tiene vector director $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ es: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ Sustituimos el punto $P(0, 1, 0)$ y el vector $\vec{v}_s(1, 2, 3)$: $$\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 0}{3}$$ Simplificando los numeradores: $$\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{3}}$$

**4.2.2. Obtenga la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$.** Si un plano $\pi$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta ($\vec{v}_r$) tiene la misma dirección que el vector normal del plano ($\vec{n}_\pi$). Por tanto, tomamos: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, 2, 3)$$ La ecuación implícita o general de un plano con vector normal $\vec{n}(A, B, C)$ es de la forma: $$Ax + By + Cz + D = 0$$ Sustituyendo las componentes de nuestro vector normal: $$1x + 2y + 3z + D = 0 \implies x + 2y + 3z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los coeficientes $A, B, C$ de la ecuación general del plano corresponden directamente a las componentes del vector perpendicular (normal) al mismo.

Para hallar el valor de $D$, imponemos la condición de que el plano pase por el punto $P(0, 1, 0)$. Sustituimos las coordenadas de $P$ en la ecuación del plano: $$(0) + 2(1) + 3(0) + D = 0$$ $$2 + D = 0 \implies D = -2$$ Por tanto, la ecuación general del plano $\pi$ es: $$x + 2y + 3z - 2 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 2y + 3z - 2 = 0}$$