Paralelismo y perpendicularidad entre planos

**4.1. Determine el valor que debe tomar $k$ para que los planos $\pi_1: kx + y + \frac{1}{4}z + 2 = 0$ y $\pi_2: 3x + 4y + z + 3 = 0$ sean paralelos. Calcule también el valor de $k$ que hace que esos mismos planos sean perpendiculares.** Para estudiar la posición relativa de dos planos, lo más sencillo es trabajar con sus **vectores normales**. Los coeficientes de las variables $x$, $y$ y $z$ en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$ definen dicho vector $\vec{n} = (A, B, C)$. Obtenemos los vectores normales de $\pi_1$ y $\pi_2$: - Para $\pi_1: kx + y + \frac{1}{4}z + 2 = 0 \implies \vec{n}_1 = \left(k, 1, \frac{1}{4}\right)$ - Para $\pi_2: 3x + 4y + z + 3 = 0 \implies \vec{n}_2 = (3, 4, 1)$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal es perpendicular al plano. Si los vectores normales son paralelos, los planos serán paralelos; si los vectores normales son perpendiculares, los planos serán perpendiculares.

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales, es decir, si existe una constante tal que sus componentes cumplen: $$\frac{k}{3} = \frac{1}{4} = \frac{1/4}{1}$$ Comprobamos primero la igualdad entre las dos últimas fracciones: $$\frac{1}{4} = \frac{1/4}{1} \implies \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$ Como esta igualdad es cierta, podemos despejar $k$ de la primera relación: $$\frac{k}{3} = \frac{1}{4} \implies k = \frac{3}{4}$$ Finalmente, verificamos que los planos no sean coincidentes comparando con los términos independientes ($D_1$ y $D_2$): $$\frac{k}{3} = \frac{1}{4} = \frac{1/4}{1} \neq \frac{2}{3}$$ Como $\frac{1}{4} \neq \frac{2}{3}$, los planos son estrictamente paralelos. ✅ **Resultado (paralelismo):** $$\boxed{k = \frac{3}{4}}$$

Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares entre sí. Matemáticamente, esto ocurre cuando su **producto escalar** es igual a cero: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$$ Calculamos el producto escalar de $\vec{n}_1 = (k, 1, 1/4)$ y $\vec{n}_2 = (3, 4, 1)$: $$(k \cdot 3) + (1 \cdot 4) + \left(\frac{1}{4} \cdot 1\right) = 0$$ $$3k + 4 + \frac{1}{4} = 0$$ Para resolver la ecuación, sumamos los términos constantes: $$3k + \frac{16 + 1}{4} = 0 \implies 3k + \frac{17}{4} = 0$$ $$3k = -\frac{17}{4} \implies k = -\frac{17}{12}$$ 💡 **Tip:** El producto escalar de dos vectores $(u_1, u_2, u_3)$ y $(v_1, v_2, v_3)$ es $u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$. ✅ **Resultado (perpendicularidad):** $$\boxed{k = -\frac{17}{12}}$$