Área bajo la curva de una función raíz cuadrada

**3.2. Dibuje la región encerrada por la gráfica de $f(x) = \sqrt{2x + 1}$, el eje $X$ y las rectas $x = 0$, $x = 4$. Luego, calcule su área.** Primero, analizamos la función $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ para representarla: - **Dominio:** La raíz cuadrada existe si $2x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1/2$. El intervalo de integración $[0, 4]$ está dentro del dominio. - **Puntos de corte:** Si $x=0, f(0)=1$. Si $y=0, \sqrt{2x+1}=0 \implies x=-1/2$. - **Signo:** En el intervalo $[0, 4]$, la función es siempre positiva (está por encima del eje $X$). La región está limitada por la curva, el eje $X$ ($y=0$) y las rectas verticales $x=0$ y $x=4$.

Puesto que la función $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ es continua y no negativa en el intervalo $[0, 4]$, el área $A$ viene dada directamente por la integral definida: $$A = \int_{0}^{4} \sqrt{2x + 1} \, dx$$ Expresamos la raíz como una potencia para facilitar la integración: $$A = \int_{0}^{4} (2x + 1)^{1/2} \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar una función de la forma $(ax+b)^n$, la primitiva es $\frac{1}{a} \cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}$.

Calculamos la integral indefinida: $$\int (2x + 1)^{1/2} \, dx$$ Hacemos un ajuste de constantes (o un cambio de variable $u = 2x+1$, $du = 2dx \implies dx = du/2$): $$\int (2x + 1)^{1/2} \, dx = \frac{1}{2} \int 2(2x + 1)^{1/2} \, dx = \frac{1}{2} \frac{(2x + 1)^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (2x + 1)^{3/2}$$ Simplificando: $$F(x) = \frac{1}{3} (2x + 1)^{3/2} = \frac{1}{3} \sqrt{(2x + 1)^3}$$ $$\boxed{F(x) = \frac{1}{3} \sqrt{(2x + 1)^3}}$$

Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[0, 4]$: $$A = \left[ \frac{1}{3} \sqrt{(2x + 1)^3} \right]_{0}^{4}$$ Evaluamos en los límites superior e inferior: - Para $x = 4$: $F(4) = \frac{1}{3} \sqrt{(2(4) + 1)^3} = \frac{1}{3} \sqrt{9^3} = \frac{1}{3} \sqrt{729} = \frac{27}{3} = 9$ - Para $x = 0$: $F(0) = \frac{1}{3} \sqrt{(2(0) + 1)^3} = \frac{1}{3} \sqrt{1^3} = \frac{1}{3}$ Restamos los valores: $$A = F(4) - F(0) = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27 - 1}{3} = \frac{26}{3}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva de $f$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{26}{3} \text{ unidades}^2 \approx 8.67 \text{ u}^2}$$