Continuidad y derivabilidad de una función a trozos con parámetros

**3.1.1. ¿Qué condición deben cumplir $k$ y $m$ para que $f$ sea continua en $x = 1$?** Para que una función sea continua en un punto $x = a$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(a)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales (es decir, que exista el límite global). 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. En nuestro caso, estudiamos el punto de salto entre ramas $x = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que en funciones definidas a trozos, la continuidad suele depender de que las ramas "encajen" en el valor de frontera.

Calculamos los límites laterales en $x = 1$: - **Límite por la izquierda ($x \le 1$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (kx^2 + 2x) = k(1)^2 + 2(1) = k + 2$$ - **Límite por la derecha ($x \gt 1$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 - m) = (1)^2 - m = 1 - m$$ - **Valor de la función:** $$f(1) = k(1)^2 + 2(1) = k + 2$$ Para que sea continua, igualamos los límites: $$k + 2 = 1 - m$$ Agrupamos las variables en un lado de la ecuación: $$k + m = 1 - 2 \implies k + m = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k + m = -1}$$

**3.1.2. ¿Para qué valores de $k$ y $m$ es $f$ derivable en $x = 1$?** Para que una función sea derivable en $x = 1$, primero debe ser **continua** en dicho punto. Por tanto, ya sabemos por el apartado anterior que debe cumplirse la condición: $$k + m = -1$$ Además, deben existir las derivadas laterales en $x = 1$ y ser iguales: $f'(1^-) = f'(1^+)$. 💡 **Tip:** Si una función no es continua, automáticamente no puede ser derivable. Por eso siempre empezamos comprobando o arrastrando la condición de continuidad.

Calculamos la derivada de la función en cada rama (para $x \neq 1$): $$f'(x) = \begin{cases} 2kx + 2 & \text{si } x < 1, \\ 2x & \text{si } x > 1. \end{cases}$$ Ahora evaluamos las derivadas laterales en el punto crítico $x = 1$: - **Derivada por la izquierda:** $$f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (2kx + 2) = 2k(1) + 2 = 2k + 2$$ - **Derivada por la derecha:** $$f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2(1) = 2$$ Para que sea derivable, igualamos ambos resultados: $$2k + 2 = 2$$ Resolvemos para $k$: $$2k = 2 - 2 \implies 2k = 0 \implies k = 0$$ $$\boxed{k = 0}$$

Una vez obtenido el valor de $k$, sustituimos en la condición de continuidad hallada en el paso 2: $$k + m = -1$$ Sustituyendo $k = 0$: $$0 + m = -1 \implies m = -1$$ Por tanto, para que la función sea derivable en $x = 1$, los parámetros deben tomar los valores $k = 0$ y $m = -1$. Podemos comprobar la función resultante: $$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x \le 1, \\ x^2 + 1 & \text{si } x > 1, \end{cases}$$ Donde $f(1)=2$ y $f'(1)=2$ por ambos lados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 0, \quad m = -1}$$